斜回転体

この項目は、不定積分の公式x軸のまわりの回転体を参照してください。
曲線の部分と、直線と、点から各々に下ろした垂線とで囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)を、直線の回りに1回転してできる回転体Kの体積Vを求めてみます。
x軸のまわりの回転体の体積を求めるのと同様に、回転軸に垂直な断面で切ったときの断面の円の面積を回転軸の方向に積分することにより体積を求めます。

として、曲線上の1Pを通り、直線 ・・・@ に垂直な直線は、傾きがなので、
 ・・・A
@,Aを連立して、
2直線の交点Hx座標を求めると、


 ・・・B

Pと点Hの距離は、点Pから直線に下ろした垂線の長さとして、点と直線の距離の公式を用いると、

これが、点Pを通り直線に垂直な断面で回転体Kを切ったときの断面にできる円の半径になります。
断面の円の面積は、
です。

さて、円の面積
を回転軸に沿って積分すればよいのですが、この回転軸に沿った座標としては、x座標,y座標などと同様に、原点OからHまでの距離を座標として考えます。
Hからx軸に垂線HIを下ろし、直角三角形OHIに三平方の定理を適用すると、 1m
はBで求めた、点Hx座標です。よって、

 
  ・・・C

求める体積
Vは、より、として、

ですが、aの関数の形で与えられていて、このままでは、について積分することができません。
そこで、C式を用いて
置換積分します。
C式を
aについて微分すると、

ここで、とします。つまり、aについて単調増加だとします。

のとき、a (aについて単調増加とした仮定による)

 
注.結果の式を公式として暗記しても意味はありません。結果に至る流れを理解してください。

1. 上記において、だとします。
境界の
2は、より、ともに直線上の点です。


は満たされています。よって、

 




2. 放物線と直線で囲まれる図形を直線のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求める。
[解答] を連立すると、より、
よって、放物線の部分を直線の回りに1回転することになります。
として、放物線上の点Pを通り、直線 ・・・@ に垂直な直線は、
 ・・・A
@,Aを連立して、交点
Hx座標を求めると、

 ・・・B
Pと直線との距離は、

原点OHとの距離は、Bの倍で、
 ・・・C
求める体積
Vは、のとき、より、

C式により、置換積分します。C式をaで微分して、


のとき、a

 
 
  ......[]


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