斜回転体
関連問題
この項目は、
不定積分の公式
、
x
軸のまわりの回転体
を参照してください。
曲線
の
の部分と、直線
と、
2
点
,
(
)
から各々直線
に下ろした垂線とで囲まれる部分
(
右図で黄色に塗られた部分
)
を、直線
の回りに
1
回転してできる回転体
K
の体積
V
を求めてみます。
x
軸のまわりの回転体の体積を求めるのと同様に、回転軸に垂直な断面で切ったときの断面の円の面積を回転軸の方向に積分することにより体積を求めます。
として、曲線
上の
1
点
P
を通り、直線
・・・@
に垂直な直線は、傾きが
なので、
・・・A
@,Aを連立して、
2
直線の交点
H
の
x
座標を求めると、
∴
・・・B
点
P
と点
H
の距離は、点
P
から直線
に下ろした垂線の長さとして、
点と直線の距離
の公式を用いると、
これが、点
P
を通り直線
に垂直な断面で回転体
K
を切ったときの断面にできる円の半径になります。
断面の円の面積は、
です。
さて、円の面積
を回転軸に沿って積分すればよいのですが、この回転軸に沿った座標としては、
x
座標,
y
座標などと同様に、原点
O
から
H
までの距離
を座標として考えます。
点
H
から
x
軸に垂線
HI
を下ろし、直角三角形
OHI
に三平方の定理を適用すると、
:
:
=
1
:
m
:
はBで求めた、点
H
の
x
座標です。よって、
・・・C
求める体積
V
は、
より、
,
として、
ですが、
は
a
の関数の形で与えられていて、このままでは、
について積分することができません。
そこで、C式を用いて
置換積分
します。
C式を
a
について微分すると、
ここで、
とします。つまり、
は
a
について単調増加だとします。
∴
:
のとき、
a
:
(
が
a
について単調増加とした仮定による
)
∴
注.結果の式を公式として暗記しても意味はありません。結果に至る流れを理解してください。
例
1
. 上記において、
,
,
だとします。
境界の
2
点
,
は、
,
より、ともに直線
上の点です。
は満たされています。よって、
∴
例
2
. 放物線
と直線
で囲まれる図形を直線
のまわりに
1
回転して得られる回転体の体積を求める。
[
解答
]
と
を連立すると、
より、
よって、放物線
の
の部分を直線
の回りに
1
回転することになります。
として、放物線
上の点
P
を通り、直線
・・・@ に垂直な直線は、
・・・A
@,Aを連立して、交点
H
の
x
座標を求めると、
∴
・・・B
点
P
と直線
との距離は、
原点
O
と
H
との距離は、Bの
倍で、
・・・C
求める体積
V
は、
のとき、
より、
C式により、置換積分します。C式を
a
で微分して、
∴
:
のとき、
a
:
∴
......[
答
]
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