共線条件

三角形OABがあるとき(1次独立であるとき)で指定される点Pが直線OA上に存在する条件は、

この条件をこのウェブサイトでは、共線条件と言うことにします。
Pと点Aが一致するときには、のとき、となりますが、が満たされています。
Pと点Bが一致するときには、のとき、となりますが、が満たされています。
Pが線分ABmnに内分する点であるとき、 (ベクトルの内分・外分を参照)として、より、となりますが、が満たされています。
Pが線分ABmnに外分する点であるとき、 (ベクトルの内分・外分を参照)として、より、となりますが、が満たされています。

例.三角形ABCの辺AB23に内分する点をF,辺AC12に内分する点をE,線分BEと線分CFの交点をPとし、直線APと辺BCとの交点をDとする。を用いて表し、BDDCを求める。
[解答1]  ・・・@, ・・・A です。
BPEは一直線上の点なので、共線条件より、 ・・・B (共線条件より、の係数を足すと1になります。を使って表されるベクトルなので、の係数の方を簡単な形にするようにsとして、の係数をとしています)
C
PFは一直線上の点なので、共線条件より、 ・・・C
BにAを代入して、
 ・・・D
Cに@を代入して、
 ・・・E
D,Eの係数を比較して、

連立して解くと、
Dより、 ・・・F
 ・・・G
DBCが一直線上にある条件は、の係数の和が1となることで、

Gより、
これは、Dが線分BC34に内分する点であることを示す。よって、BDDC 34 ......[]

[
解答2] メネラウスの定理より、

FPPC 310

チェバの定理より、

BDDC 34 ......[]
注.あまりに典型問題なので意外と出題されませんが、大学入試では、解答2で答案を書きましょう。


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