外積

空間内に2個のベクトルがあって、
1次独立でないときには、
1次独立なときには、の向きからの向きまで回る向きを右ねじの回る向きとして、右ねじの進む向きをベクトルの向きとし、とで張られる平行四辺形の面積をベクトルの大きさとするようなベクトルを、
とするとき、このと書いて、
外積と言う。

注.内積をスカラー積、外積をベクトル積と言うこともあります。
右ねじが進む向きは、の向き、の向きのいずれとも垂直です。
からまで回る右ねじが進む向きは、からまで回る右ねじと進む向きが逆になるので、です。
また、です。


(1) がともにxy平面内のベクトルで、であるとき、とで作る三角形の面積は、で与えられるので、とで張られる平行四辺形の面積は、です。
従って、は、大きさが
z軸と平行なベクトルです。からへと回る向きが、z軸正方向から見て反時計回りのときにはz軸正方向、時計回りのときにはz軸負方向になり、となります。
注.は、という行列の行列式なので、と書くことができます。


(2) であるとき、

 
です。高校の範囲外ですが、これを暗記しておくと大学受験でも何かと便利です。
(1)の場合に当たります。
このが上記の外積の定義を満たしていることを確かめておきます。

 
 
 

同様に、で、
また、とで張られる平行四辺形の面積
Sは、とで作る三角形の面積2倍で、

 
 
  
 
    
 
 


さてここで、(1)からわかるように、として、は、それぞれ、とで張られる平行四辺形に、x軸,y軸,z軸に平行に光を当てたときに、yz平面,zx平面,xy平面にできる影の面積です。この平行四辺形を含む平面pに垂直なベクトルx軸,y軸,z軸となす角をabgとすると、より、 (これは、が外積だから言えることではなく、でないすべてのベクトルについて言えることです。方向余弦と言います)
また、平面pyz平面,zx平面,xy平面がなす角は、abgなので、平行四辺形の面積をSとして、
これより、

 
 


1の双方に垂直なベクトルを1つ求める。

 
 



よって、求めるベクトルは、
......[]
注.とおいて、を連立しても同様の結果が得られます。

23ABCを頂点とする三角形の面積を求める。


よって、求める三角形の面積は、
......[]
注.公式によっても、となります。

以上のように、外積は、大学入試においても、
2つの空間ベクトルの双方に垂直なベクトルを求めたり、2つの空間ベクトルで張られる平行四辺形の面積、よって、三角形の面積を求めるときに有効な手段です。


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