放物線

標準形: ()
放物線の定義:定点(焦点と言う)までの距離と、この定点を通らない定直線(準線と言う)までの距離とが等しい点の集合を放物線と言う。
放物線:
の焦点は,準線は

放物線の定義から放物線の方程式の標準形を導いてみます。
右図で、焦点をF,準線を ()とし、放物線上の点Pと焦点までの距離と、準線までの距離を等しいとおくと、

両辺を2乗して、



放物線:について、x軸、つまり、直線を放物線のと言います。
放物線の方程式:
を満たす点に対して、yのところにを代入しても方程式が成り立ちます。従って、放物線はx軸、つまり、放物線の軸に関して対称です。
放物線の軸と放物線との交点、放物線:
においては、原点O頂点と言います。

焦点が
y軸上のにあり、準線がとなる場合は、同様にして、放物線の方程式は、となります。このときには、放物線の軸はy軸、つまり、直線,頂点はやはり原点Oです。

放物線:
に接する傾きmの接線を求めてみます。
と連立して、
整理して、
接するので、この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)


より、
よって、求める傾きmの接線は、

放物線:に接する傾きmの接線を求めてみます。
と連立して、
整理して、
接するので、この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)

より、
よって、求める傾きmの接線は、

放物線の方程式:の両辺を陰関数の微分法で微分すると、


における接線の傾きは、
接点における接線は、
接点は放物線上の点なので、より、


よって、接点における接線は、


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