部分積分法    関連問題

公式:


[証明] 積の微分法の公式:より、

両辺を
xで積分すると、 (証明終)

定積分の場合には、

となります。

部分積分法では、被積分関数を
2つの項の積と見て、片方を微分し、片方を積分することになります。
積分することにしたもの
(公式では、)を先に積分して、という項を書きます。
次に、マイナスをつけて、微分することにしたもの
(公式では、)を微分し、の積分を書きます。

1. 
xは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、を積分します。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分してです。よって、

 
 

2. 
1と同様にxは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、を積分します。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分してです。よって、

 

3. 
xを微分すると、を積分することになってしまうのですが、の積分はで結局簡単になりません。
そこで、対数関数が出てくる場合には、対数関数の方を微分します。
xは積分することになります。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分してです。よって、

 
 

4. 
を微分、を積分します。部分積分を
1回行うだけでは、の積分が残りますが、さらに、xを微分、を積分にして部分積分することで、計算が終了します。

 
 
 
 
(C:積分定数)

5. 
を微分、を積分します。部分積分を
1回行うだけでは、の積分が残りますが、さらに、xを微分、を積分にして部分積分することで、計算が終了します。

 
 
 
 
(C:積分定数)
[
別解] なお、という積分の場合には、不定積分もの形になるので、以下のように計算する方がラクにすみます。部分積分は計算をミスしやすいので、入試会場で部分積分を避けることが可能なら、極力避けるべきです。
とおきます。
右辺を
xで微分すると、

  ・・・@
 ・・・A より、
@,A式で係数比較して、
これらを解いて、
(C:積分定数)

6. 
被積分関数が対数関数を含む関数だけの場合は、と見て、
1を積分し、を微分して、部分積分を行います。
ここでは、
1回部分積分しても、が残るのですが、これは、公式:を使います。

 
 
 
  
(C:積分定数)

7. 
を積分に回しても、を積分に回しても、労力は同じです。ここでは、を積分に回す方針でやってみます。

2回部分積分するとはじめと同じ形が出てくるので、最初の形をIとおいて、

 
 
 
 
  
(最初の形が出てくるので、それをIとおく)


 (C:積分定数)
[
別解] この積分も例5.と同様に、とおいて、を微分して係数比較することによって、不定積分を求める方法が考えられます。

 
と係数比較して、
これらを解いて、
 (C:積分定数)

注.例4.〜例7.を不定積分で例示しましたが、定積分においても、不定積分を定積分にかえ、積分のつかない項は、とすれば、同様に計算が行えます。


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