定点を通る直線

直線lの方程式: ・・・@
について、
(pは定数)とするとき、abcにかかわらず (qは定数)となるとき、つまり、
 ・・・@'
であるとき、abcの値にかかわらず、直線lは定点を通る。
また、実数
abcが@'を満たすように変化するとき、@−@'より、定点を通る任意の直線を表す。

直線
kの方程式: ・・・A (この形では、x軸に垂直な直線を表せないことに注意)
について、 (pは定数)とするとき、mnにかかわらず (qは定数)となるとき、つまり、
 ・・・A'
であるとき、mnの値にかかわらず、直線kは定点を通る。
また、実数
mnがA'を満たすように変化するとき、A−A'より、は、y軸に平行な直線を除く、定点を通る任意の直線を表す。

定点から曲線に接線を引いたり、定点を通る直線が曲線と共有点を有する条件を求める、という問題を考えるときに使う技巧です。


1を通る直線が、原点を通る半径1の円が共有点をもつために満たすべき、直線の傾きmに関する条件を求める。
原点を通る半径1 の方程式は、 ・・・B
を通り傾きが
mの直線は、
y軸に平行な直線は、Bと共有点をもちません。変形すると、
この直線が、Bと共有点をもつための条件は、Bの中心と直線との距離が1以下であることです。
 (点と直線との距離を参照)
分母を払って2乗すると、

......[]

2.放物線上の点における法線(接点を通って接線に垂直な直線)に関して、この点を通りy軸に平行な直線と対称な直線が、定点を通ることを示す。
のとき、より、接線の傾きはで、法線の傾きはです(直線の平行と垂直を参照)
放物線上の点における法線は、
 ・・・C
を通ってy軸に平行な直線上の点とCに関して対称な点をとすると、の中点は、直線C上の点なので、
 ・・・D
を結ぶ直線の傾きは
 ・・・E
D,Eより、
を通る直線は、
 ・・・F
と表せますが、この直線はも通るので、
 ∴
Fのkに代入すると、Cに関して、と対称な直線は、
整理して、
この直線はpの値にかかわらず()、定点を通ります。のとき、法線はy軸に一致しますが、y軸のy軸に関して対称な直線はy軸で、これもを通ります。

3.定点を通る直線と、定点を通る直線が直交するとき、交点が描く軌跡を求める。
を通る直線は、 ・・・G
を通ってGに垂直な直線は、 ・・・H
G,Hの交点は、GとHをともに満たします。
+H×により
aを消去すると、
bは任意の実数をとりうるので、


軌跡は、2定点の中点を通り、2定点の距離のを半径とする円になります。
注意.この問題で、を通る直線をを通ってこれと直交する直線をとおくのはお薦めできません。y軸に平行になる場合を別に検討する必要がでてきて面倒です。


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