同じものを含む順列

として、文字ap個、文字bq個、文字cr個、一列に並べて作ることのできる順列の個数は、

まず、文字を置くn個の位置からaを置くp個の位置を選ぶのが、通り、残った個の位置からbを置くq個の位置を選ぶのが、通り。これで、cを置く位置も確定します。順列の個数は、(注.)です。
また、
n個の異なるものを並べる並べ方が通りあって、p個の文字aがすべて異なるとしてその並べ方が通り、q個の文字bがすべて異なるとしてその並べ方が通り、r個の文字cがすべて異なるとしてその並べ方が通りあり、実際には、文字a同士の通りの並べ替え、文字b同士の通りの並べ替え、文字c同士の通りの並べ替えを区別できないので、順列の個数は、で割って、個、という求め方もできます。
3種類以上の文字がある場合についても、全く同様の関係式:総個数の階乗をそれぞれの文字の文字数の階乗の積で割ったもの、になります。

例.
(1) 数字13個、数字22個、数字35個使ってできる10桁の整数は、通りできます。
(2)
右図のような碁盤目上の道路を最短経路でAからBまで行く経路の数を考えます。
AからBまで、例えば右図の矢印のような経路では、右−右−上−右−右−上−上−上−右、と進むことによりAからBまで行くことができます。これを見ると、右に5回、上に4回進むと、AからBに到達できることが分かります。''の並び方を変えると異なる経路になります。
従って、
'5文字と'4文字を一列に並べる順列と考えることにより、通りの経路があります。
(3) を展開したときのの係数を考えます。
10回かけて展開するとき、それぞれのabcのどれを選んで10回かけていくかと考えると、では、a3回、b2回、c5回選んでかけることになります。10個あるのどの3個をa,どの2個をb,どの5個をcにするかということでという項の個数が決まります。従って、の係数を、文字a3個、文字b2個、文字c5個、一列に並べる順列の個数として求めると、となります。



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