極形式

複素数平面上の原点以外の点Pについて、とし、,線分OPが実軸の正方向となす角をq とするとき、より、

と書けます。この形を極形式と言います。qz偏角と言い、と書きます。
z共役複素数より、共役複素数の偏角はになります。つまり、です。
[1] の極形式は、
[
2] 1) 1の極形式は、
  2) iの極形式は、
  3) の極形式は、
  4) の極形式は、

2
つの複素数zwの極形式を、


とします。




これより、極形式で2つの複素数の積を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の積となり、偏角は、各々の偏角の和となることがわかります。つまり、

 ・・・@





これより、極形式で2つの複素数の商を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の商となり、偏角は、各々の偏角の差となることがわかります。つまり、

 ・・・A

@,Aを合わせて、複素数の偏角
argには、対数logのような性質があることがわかります。
実際、
nを自然数として、が成り立ちます(ド・モアブルの定理を参照)

複素数
に、複素数をかけると、になるということは、複素数平面上で、wの表す点に向かうベクトルの長さを倍して、だけ回転すると、の表す点に向かうベクトルになる、ということを意味しています。
複素数
zをかけるということは、複素数平面上で拡大縮小と回転を行う、ということを表しているのです。


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