確率

サイコロを振ると、123456の目が出ます。それぞれの目が出る割合は何度振っても変わりません。このように同じ割合で、ある結果が起こることが期待される実験を試行と言います。
試行の結果起こるできごとを
事象と言います。
1の目が出る事象、2の目が出る事象、・・・、6の目が出る事象、すべて合わせて、全事象と言います。
1の目が出る事象、2の目が出る事象、など、11つの事象を全事象に対して、根元事象と言います。

サイコロを振るという試行に対して、各事象を出る目の数で表すことにすると、全事象を
全体集合として考えることができます。事象は全体集合の部分集合、根元事象は全体集合の要素の1つだけを持つ集合と考えることができます。
空集合
に対する事象を空事象と言います。

サイコロを振るという試行では、
1から6までの目の出る割合は同じです。6万回振れば、1から6までの目はほぼ6万回ずつ出ます。
このようなときに、これらの根元事象は「
同様に確からしい」、という言い方をします。
このときに、事象
Eの場合の数を全事象の場合の数で割ったものを、事象Eの起こる確率と言います。
確率は、事象
Eの起こりやすさを表す数値です。

3の目が出るという事象をと書くと、3の目が出る確率は、より、です。
偶数の目が出るという事象を
と書くと、,偶数の目が出る確率は、より、です。
3の倍数の目が出るという事象をと書くと、3の倍数の目が出る確率は、より、です。

根元事象や、全事象は、問題によっていろいろなとらえ方をすることができます。
サイコロを振る場合、出た目を
3で割った余り012を考えて、全事象をとし、出た目が3の倍数であるという事象をとして、3の倍数の目が出る確率をというように考えることもできます。ただし、ここで考えている3つの根元事象は、同様に確からしくなければなりません。

サイコロを
2回振って出た目の和は、11の和の2から6612まで11通りの可能性がありますが、根元事象を,・・・,,また、全事象をと考えることはできません。サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率をとするのは誤りです。なぜなら、根元事象,・・・,は、「同様に確からしい」と言えないからです。
サイコロを
2回振って出た目のパターンは、,・・・,36パターンあります。この36パターンの各一は同様に確からしいと言えるので、根元事象を,・・・,とし、全事象をと考えることができます。このとき、出た目の和が4になるという事象は、です。従って、サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率は、となります。
根元事象を「同様に確からしい」と言えるように考えているか、という点が、確率の問題で最も間違いやすい点なので、よく注意してください。

同種のサイコロを
2個振って出た目の和が4になる確率も、サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率と全く同様に考えます。
サイコロに区別がないのだから、どちらが
1でどちらが3なのか区別ができないではないか、というように疑問を持つ人もいると思いますが、確率の問題では、根元事象を「同様に確からしい」ものとして考える必要があります。「1の目と3の目が出る」という事象と「2の目が2個出る」という事象とでは、起こりやすさが倍違うのです。従って、同種のサイコロを2個振る場合でも、根元事象を、と言うように考えなければなりません。確率の問題では、問題文に「同じサイコロを2個」とか「同じ球を3個」というように書かれていても、2個のサイコロを異なるサイコロとして区別し、同じ球3個を異なる球として区別して考えるべきです。簡単なことのように感じるかも知れませんが、重要なポイントです。

例.
10個の同種の球を袋A,袋B,袋Cにでたらめに入れていくとき、袋A3個、袋B2個入る確率を求めよ。
[解答]  A3個、袋B2個入れば、自動的に袋C5個入るので、全事象の場合の数を、3種類のものから重複を許して10個とる重複組み合わせの数と考えて、通りとし、求める確率をとするのは誤りです。
なぜなら、ここで考えている全事象の
66通りの各1通りは、「同様に確からしい」とは言えないからです。
「袋
A3個、袋B2個、袋C5個入る」事象Dと、「袋A4個、袋B2個、袋C4個入る」事象Eとでは起こりやすさが違うのです。
全事象は、
10個の球をすべて異なると考え、10個の球の各1個について袋A,袋B,袋C3通りの入り方があるので、重複順列として、通りの入れ方があり、これらの各一通りは同様に確からしいと言えます。
そのうち袋
A3個、袋B2個はいるのは、まず10個から袋Aに入る3個を選ぶ方法が通り、残り7個から袋Bに入る2個を選ぶ方法が通り、これで袋Cに入る球が確定します。よって、袋A3個、袋B2個入る入れ方は、通り(同じものを含む順列を参照)
求める確率は、 ......[
]
注.10個の球が異なるとして、事象Dの場合の数は通り、事象Eの場合の数は通りです。


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