積事象・和事象・余事象


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つの事象Aと事象Bが起こるときに、
事象
Aと事象Bがともに起こるという事象を積事象と言います。事象を集合で表すと、に相当します。
事象
Aまたは事象Bが起こる事象を和事象と言います。事象を集合で表すと、に相当します。
「事象
Aと事象Bが同時に起こること」がないとき、つまり、のとき、事象Aと事象Bは、排反であると言います。

集合の公式
(集合の要素の数を参照)
の両辺を、全事象の場合の数:で割ると、

として(確率を参照)
和事象の確率の公式:
が得られます。

ここで、特に、事象
Aと事象Bが排反であるとき、より、となり、

となります。これを確率の加法定理と言います。

3つ以上の事象についても、全く同様です。互いに排反な事象ABCの和事象の確率は、それぞれの事象が起こる確率の和です。つまり、


11から30までの数が書かれたカードが1枚ずつ30枚ある。この中から1枚を無作為に選んだときに、5の倍数と7の倍数の書かれたカードを選ぶ確率を求めよ。
[解答] 1から30までの数の中には5の倍数であってかつ7の倍数である数は存在しないので、5の倍数を選ぶ事象と7の倍数を選ぶ事象は排反です。
5の倍数は6通りで、5の倍数を選ぶ確率は、
7
の倍数は4通りで、7の倍数を選ぶ確率は、
求める確率は、両者の和となり、 ......[]
ここで、1から60までのカードだと、5の倍数は12通り、7の倍数は8通り、35の倍数が1通りで、確率は、となります。

全事象
Uに対して、「事象Aが起こらない」という事象を事象A余事象と言います。
集合の公式
(集合の要素の数を参照)
の両辺を、全事象の場合の数:で割ると、

として、
余事象の確率の公式:
が得られます。

2.サイコロを3個振るときに出た目の積が偶数になる確率を求めよ。
[解答] 3個の目の積が偶数となるのは、3個のうちどれか1個が偶数になればよいのですが、3個のうち2個が偶数の場合、3個とも偶数の場合の重複を考える必要があって面倒です。このように、場合分けが複雑になってしまうときに余事象を考えます。
出た目の積が偶数となる事象の余事象は、出た目の積が奇数という事象ですが、これは、
3個の目が全て奇数のときにしか起こりません。
奇数が目が出る確率は
なので、3個とも奇数の目が出る確率は、です。確率を考えている事象の余事象の確率がなので、元の事象の確率は、 ......[]

なお、確率には重要な性質があります。
事象
Aの確率を考えるときは、事象Aの場合の数を全事象の場合の数で割りますが、集合Aは全体集合Uの部分集合なので、
です。
この各辺を
で割ると、

即ち、事象Aが起こる確率は、負の数になったり、1より大きい数にはなり得ません。


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