行列の積

この項目では、行列も参照してください。
2個のベクトルの積:
 
 (左側を行ベクトル、右側を列ベクトルにする。数学Bに出てくるベクトルの内積だと思えばよい)
m
×l行列l×n行列として、
  (m
×l行列とl×n行列の積はm×n行列)
 ただし、 ()
特に、2次の正方行列どうしの積は、として、


行列の積ABにおいては、左側Aの列数と右側Bの行数が同じでないと積の計算が行えないことに注意してください。
行列の積
ABの行数は、左側Aの行数に一致し、列数は右側Bの列数に一致します。
2次の正方行列どうしの積については、というように覚えましょう。
3次の正方行列どうしの積については、となっています。
左側の行列を横に見て、上中下と分け、右側の行列を縦に見て、左中右と分ける。各組合わせごとに内積を計算します。
行列の積では、左側にくるものと右側にくるものとで扱いが違うので、積の左右を入れ替えると、一般に異なる行列になります。
つまり、
が異なるのがふつうです。
従って、行列の計算では、一般に、
 

のように計算することができません。こうなるのは、のときだけです。正しくは、
 
 
従って、3つのn次正方行列ABCがあり、というような等式があって行列Aをかける場合、左からかけるのか、右からかけるのかを明記する必要があります。
左からかけると、
となり、
右からかけると、
となります。
左からかけるのと、右からかけるのとでは、通常違う結果となるので注意してください。

1.  (数学B内積と同じです)
2(1) (左右を入れ替えると積が異なる)
(2)

行列の積について、以下のことが成り立ちます。
(1)
(2)

一般的に証明すると大がかりなので、ABC2次正方行列の場合で確かめておきます。
として、
(1)

 


 
 (この積を単にとも書きます)
(2)
 





 





また、実数倍と行列の積については、入れ替えて計算することができます。つまり、

これも、2次正方行列の場合で確かめておきます。


 (この積を単にと書きます)

n
次正方行列An次単位行列En次正方行列の零行列Oとの積について以下のことが成り立ちます。


わかりづらくなりますが、行列の積を成分に着目して、以下のように見ることもできます。
IJ列の行列AJM列の行列BMN列の行列Cの積を考えてみます。
行列
A成分を ()
行列B成分を ()
行列C成分を ()
とします。
行列の積
成分は、について行列A成分と行列B成分をかけて足し合わせたもので、となります。
行列の積
成分は、について行列成分と行列C成分をかけて足し合わせたもので、となります。

 
 
よって、
同様に、行列の積成分は、
行列の積成分は、
Σ記号の順番は入れ替えても和の値には影響ありません。長方形に並んだ数を横に足してから縦に足すか、縦に足してから横に足すか、という違いだけです。
よって、
これで、のすべての成分について等しいことが言えるので、です。
については、フーリエ級数のところで出てくる、クロネッカーのデルタ記号:の利用が便利です。は、
のときに、のときに、
と定義されるので、単位行列の成分そのものです。
n次正方行列A成分を ()n次単位行列の成分をクロネッカーのデルタ記号を利用してとすると、
成分は、
は、のときのみ1で残りは0なので、和は、のところだけが生き残って、

つまり、積成分はです。ということは、ということです。
同様に、積
成分は、
よって、
これで、
が言えます。

目がチカチカしますが、将来、相対性理論をやろうという意欲をお持ちの方は、「縮約」というのですが、こういう計算が腐るほど出てくるので、よく慣れておいてください。


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