証明の技巧

命題Pに対して、
命題:
を命題Pと言う。
命題:
を命題Pと言う。
命題:
対偶と言う。

1.命題:は真ですが、この命題の逆である命題:は偽です。
となるxは、は満たしますが、は満たしません。

1のように、ある命題:が真であっても、逆:も真であるとは限りません。
条件cを満たすものの集合をC,条件dを満たすものの集合をDとして、命題:が真であるときですが、だとは限りません。
条件
cが満たされていて、条件dが満たされないようなものがあるとき、つまり、のときには、集合の要素(右図×点)が、逆:が偽であることの反例になります。

命題:
を証明する場合には、を示しただけでは証明したことになりません。逆:も示してはじめて証明したことになります。

2.実数xyに対して、を証明します。
[証明] であるとき、 ・・・() ですが、xyが実数のとき、より、()の左辺()の右辺であって、に限られます。
逆に、
のとき、 (証明終)

全体集合をUとします。条件cを満たすものの集合をC,条件dを満たすものの集合をDとして、命題Pが真であるときです。このとき、右図より、です。ということは、命題:(Pの対偶)が真だと言うことです。つまり、

命題そのものが証明しづらいときに、その命題の対偶を証明するという方法もあります(対偶参照)

3正の整数nについて、n5で割った余りが23” nは平方数ではないという命題を証明したいとします。
このままの形で証明しようとすると、
またはとおいて証明を始めることになりますが、簡単にはいきません。
もとの命題の対偶は、
nが平方数正の整数nについて、n5で割った余りは014”です。
これだと、
0以上の整数kを用いて、とおくと、
n5で割った余りは、5で割った余りに一致します。
5で割った余りは、に応じて、01441となるので結論が示せました。
対偶を証明することにより、
正の整数nについて、n5で割った余りが23” nは平方数ではないという命題を証明したことになります。

“.......ではない “........ ではない」という形の命題の証明を考える場合には、対偶を考えるほうが良い場合があります。

を利用した証明法がもう一つあります。
において、証明すべき結論dを否定するとになるということは、もとの条件cと矛盾が生ずると言うことです。
従って、証明すべき結論を否定して、与えられた条件と矛盾するということが導ければ、もとの命題を証明したことになります。
この証明法を
背理法と言います。

4無理数であることを背理法で証明します。
[証明] が有理数だとして、互いに素な自然数pqを用いて、とおけたとします。
分母を払って
2乗すると、
これはq2の倍数であることを意味します。自然数kを用いて、とおくと、


これはp2の倍数であることを意味しますが、pqが互いに素であることと矛盾します。
ということは、
を既約分数に形に表すことはできないことを意味します。
よって、
は無理数です。 (証明終)


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