点と直線の距離の公式

座標平面上において、点Cと直線l (直線の方程式を参照)との距離dは、
・・・@

[
証明] 直線lの方程式をベクトルl上の点Pを指すベクトルを用いて書き直します。
l ・・・A
さらに、
l上の定点Qを指すベクトルだとします。

これより、 ・・・B
Aに代入して、
l ・・・C
ここで、
lと平行なベクトルだから、
Cより、
lと垂直なベクトル(直線l法線ベクトル直線のベクトル方程式を参照)です。

Cからlにおろした垂線の足をHとします。
//
より、 ・・・D (kは実数)と表せて、
より、
H
l上の点だから、であって、
より、
よって、

Cと直線lとの距離dは、Dより、

Bを用いて、


  (証明終)
注.点と直線の距離の導出はベクトルを用いて行うのがラクです。座標平面上で導出しようとすると細かく場合分けすることが必要になります。

上記と同様にして、点と平面の距離の公式を導くことができます。

平面上の任意の点
を指すベクトルをとすると、平面の方程式は、平面上の1定点を指すベクトルと、平面と平行であってかつ、互いに平行でなくでもない(1次独立)2つのベクトルを用いて、 ・・・E のように表せます。
この平面に垂直なベクトル (
従って、)とE式両辺との内積を作ると、より、
(
とおいた)
この平面と点Cとの距離hは、上記の証明と全く同様にして、
(
ベクトルで表せば、平面上と空間内とで全く同じ公式になります)


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