2次曲線の分類

2次曲線Cの方程式をと書くと、Cx方向にay方向にb平行移動させたの方程式は、
(1)
円錐面の稜線に平行な平面(稜線を含む平面を除く)で円錐面を切ると、断面に放物線ができる。
円錐面の軸に垂直な平面
(円錐の底面を含む面、円錐の頂点を通る平面を除く)に、
稜線よりも浅い角をなすように交わるような平面で円錐面を切ると、断面に
楕円ができる。
稜線よりも深い角をなすように交わる平面で円錐面を切ると、断面に
双曲線ができる。
以上の意味で、
2次曲線は円錐曲線と呼ばれる。
(2) 焦点Fと、点Fを通過しない準線lがあるとき、曲線上の点PFとの距離FPと、曲線上点Pからlまでの距離PHとの比:離心率と言う。
,つまり、となる曲線が楕円
,つまり、となる曲線が放物線
,つまり、となる曲線が双曲線
(3) 2次曲線の方程式の一般形: ・・・() に対して、行列を考える。以下、行列式で分類して、
のとき、()は、楕円を表すか、1点を表すか、何も表さない。
のとき、()は、双曲線を表すか、交わる2直線を表す。
のとき、()は、放物線を表すか、平行2直線を表すか、1直線を表すか、何も表さない。

2次曲線C上の点の座標をCx方向にay方向にb平行移動させた上の点の座標をとすると、

また、x方向にay方向にb平行移動させた点がだとすれば、

つまり、
これを、に代入すると、

さて、この式は、に関する方程式ですが、が満たすべき方程式は、でなければなりません。ということは、

であって、曲線の方程式は、

ということになります。

(1) 原点Oを通り、方向ベクトルが ()となる空間内の直線を軸とする円錐面上の点Pを指すベクトルをとし、円錐面の稜線(円錐面上の直線、円錐の頂点を通る)と、円錐の軸とのなす角をq (q はすべての稜線に対して一定です)とすれば、が成り立ちます(内積空間ベクトルを参照)

2
乗して、
 ・・・@ (これが円錐面の方程式を与えます)
この円錐面を、z軸に垂直(xy平面に平行)で、円錐の頂点(原点Oです)を通らない平面: ()で切断したときの切り口の図形を調べます。@で、とおいて、整理すると、

   

    ・・・A
とおくと、Aは、
 ・・・B

(i)
のとき、,このとき、円錐面を切断する平面:は、円錐の底面と、稜線よりも浅い角をなして交わります。
Bより、

 
 
 
 
  ()
よって、Bは、平面上で、を中心とする楕円を表します。

(ii) のとき、,このとき、円錐面を切断する平面:は、円錐の底面と、稜線よりも深い角をなして交わります。
このときは、楕円のときと同様にして、Bは、平面
上で、双曲線を表します。

(iii) のとき、,このとき、円錐面を切断する平面:は、稜線と平行です。
Bより、

これは、平面上で、放物線を表します。
(2)
座標平面上に、定点F,定直線l ()をとり、曲線C上の1Pからlに下ろした垂線の足をHとします。
,点Plとの距離:
Pが、 (e:一定,)を満たすとします。

両辺を2乗して、
整理して、 ・・・C

(i) のとき、です。
Cより、
これは、を中心とする楕円を表します。

(ii) のとき、です。
楕円のときと同様に、Cは、
双曲線を表します。

(iii) のとき、Cは、となり、放物線を表します。
のとき、ですが、これは放物線の定義そのものです。

(2次曲線の分類(その2)へつづく)


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