2次曲線の分類(その2)

2次曲線の分類のつづきです。
(3) 2次曲線の方程式は一般的に、 ・・・() と表すことができます。
()が曲線を表すときは、直線や1点になる場合を除くと、楕円か双曲線か放物線に限られることを確かめてみます。
まず、
()を行列を用いて書き直します(行列行列の積を参照)

 
 
より、 (t付きは転置行列を意味します、列ベクトルと行ベクトルの入れ替えです)として、()は、

と書けます。ところで、は実数を成分とする対称行列(を満たす行列、対角成分を境にして右上と左下に対称に数字が並ぶ)なので、直交行列M(,つまり、を満たす行列、2次の正方行列では、回転移動を表す行列と、原点を通る直線に関する折り返しを表す行列に限られる、
1次変換(その2)を参照)によって、対角化することができます(スペクトル分解を参照)。つまり、 (pqは、A固有値)として、

となるような、直交行列Mをとることができます(Mは、Aの固有ベクトルで大きさ1のベクトルを横に並べた行列)
このとき、
,つまり、となるをとると、より、

 
ここで、,つまり、とおくと、
 
  ・・・D
こうして、
()の中にあったxyの項を消すことができます。Mは回転移動または折り返しを表すので、Dにおいても、曲線(直線)の形状には変化はありません。
ここで、
 (逆行列を参照)

(i) p
qが同符号で、,つまり、のとき、Dは、

のとき、()は、楕円を表します。
のとき、()は、1となります。
のとき、()は、何も表しません。

(ii) pqが異符号で、,つまり、のとき、楕円のときと同様にして、
のとき、()は、双曲線を表します。
のとき、()は、で交わる2直線を表します。

(iii) pqのいずれか一方、あるいは、両方が0で、,つまり、のとき、
のときは、
なら、()放物線を表します。
のときは、
判別式:として(2次方程式を参照)
のときには、()は平行2直線を表し、
のときには、()1直線を表し、
のときには、()は何も表しません。
のときも、同様です。
のときには、
(
)1直線を表します。


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