2次曲線に関する問題(その1)

2次曲線の問題を素直に2次方程式を用いて解く場合、2次方程式の判別式2次方程式の解と係数の関係の技巧を考えます。

1楕円と直線:2PQで交わっているとき、abm ()を定数として、nの値を動かすときのPQの中点M軌跡、また、nに対してPQの長さを求める。
[
解答] 楕円の方程式の分母を払うと、

と連立して、

整理すると、
 ・・・@
楕円と直線が
2点で交わるので、@は、異なる2実数解をもちます。
判別式:
  (2次方程式を参照)

@の2解をab とすると、PQの中点Mx座標はです。
@において、
解と係数の関係より、

よって、Mx座標は、 ・・・A
PQの中点Mは、直線上の点ゆえ、My座標は、
 ・・・B
A,Bから
nを消去すると、

これが軌跡の方程式です。
Aにおいて、
nの範囲を考慮すると、


M
の軌跡は、直線:の部分で、右図赤線部分(両端白マルを除く) ......[]
線分PQの長さは、PQx座標の差にをかけたものになります。また、PQx座標の差は、
 (2次方程式の一般論を参照、2次方程式:の判別式をとして、2解の差は、)
 
よって、PQの長さは、
......[
]

2.楕円: ()外の点Pから楕円に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[
解答]  のとき、点Pを通る傾きmの直線は、

 ・・・@
以下、
1文字のように扱うのがコツです。
楕円の方程式の分母を払うと、

@を代入すると、

整理して、

直線@と楕円は接するので、この2次方程式は重解をもち、判別式: (2次方程式を参照)

 

より、これをmに関する2次方程式と見ると、2は、Pから楕円に引いた2接線の傾きです。
2接線が直交するので、傾きの積 (2直線の平行と垂直を参照)
解と係数の関係より、

分母を払って整理すると、 ・・・A
のとき、とすれば、Pから楕円に引いた2接線は、のいずれかとのいずれかであって、直交します。
は、4通りの符号のどの組み合わせについても、Aを満たすので、Aで、と書き換えて、
Pの軌跡は、円: ......[]
注.円:は、楕円:の準円と呼ばれます。

3放物線 ()上にない点Pから放物線に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[解答] 例2と同様に、点Pを通る傾きmの直線は、
 ・・・@
放物線の方程式に代入して、

直線@と放物線が接するので、この2次方程式は重解を持ち、判別式:

整理して、
2
接線は直交するので、この2次方程式の2の積は、
解と係数の関係より、

と置き換えて、Pの軌跡は、直線: ......[]
直線:は、放物線:の準線です。

4双曲線 ()に関して、以下を証明する。
(1) 直線: ()と、双曲線との交点をPQ,直線と漸近線との交点をRSとして、
(2)
原点をOとする。双曲線上の1Pにおける接線と、漸近線との交点をABとすると、点PABの中点であり、三角形OABの面積は一定,また、双曲線の焦点をFとして、
[
証明](1) 双曲線の漸近線:を連立し、
 (複号同順)
よって、RSの中点のx座標は、
一方、双曲線の方程式の分母を払うと、
を代入して、
整理して、
この2次方程式の2ab が、PQx座標になります。
PQの中点のx座標は、解と係数の関係より、

PQ
RSの中点が一致するので、 (証明終)

(2)
接点Pの座標をだとして、接線:
分母を払って、
漸近線の方程式:を代入して、
 (複号同順)
よって、ABの中点のx座標は、

  ( Pは双曲線上の点だから、)
P
は直線AB上の点であり、ABの中点のx座標がPx座標に一致するので、PABの中点です。
ABy座標は、x座標の値を漸近線の式に代入することにより、
 (複号同順)
三角形OABの面積は、






より、 (証明終)

(
2次曲線に関する問題(その2)へつづく)


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