2次曲線に関する問題(その2)

2次曲線に関する問題(その1)からのつづきです。
2次曲線の問題を2次方程式の問題として扱うと、計算が複雑になりがちです。
ここでは、
2次曲線の定義の利用を考えます。

1.定直線l上を動く1Hにおいてlと直交する直線と、定点FHを結ぶ線分の垂直二等分線の交点Pの軌跡を求める。
[
解答] 線分PFと線分PHは、垂直二等分線に関して対称なので、
Pは、定点Fまでの距離と、定直線lまでの距離とが等しい点なので、放物線の定義より、Pの軌跡は、Fを焦点とし、lを準線とする放物線(右図赤線) ......[]

2.定直線lに接する円が定点Fを通るとき、この円の中心Cの軌跡を求める。
[
解答] 定直線lと円との接点をHとすると、CFCHは円の半径で等しい。
よって、点
Cは、定点Fまでの距離と、定直線lまでの距離とが等しい点なので、放物線の定義より、Cの軌跡は、Fを焦点とし、lを準線とする放物線(右図赤線) ......[]

3.定点Cを中心とする円周上の動点Bと円の内部の定点A (中心Cとは異なる)とを結ぶ線分の垂直二等分線と、線分CBとの交点Pの軌跡を求める。
[
解答] 線分PBと線分PAは、垂直二等分線に関して対称なので、
円の半径をとして、より、
よって、P2定点CAまでの距離の和がrで一定である点なので、楕円の定義より、Pの軌跡は、2定点CAを焦点とし、この円の半径を長軸の長さとする楕円(右図赤線) ......[]

4.定点Aを中心とする一定の円周Cに内接し、かつ、円C内のAと異なる定点Bを通る円の中心Pの軌跡を求める。
[
解答] 内接円と円Cとの接点をQとする。APQは同一直線上の点。PQPBはともに内接円の半径であって、
Cの半径をとして、より、
よって、P2定点ABまでの距離の和がrで一定である点なので、楕円の定義より、Pの軌跡は、2定点ABを焦点とし、円Cの半径を長軸の長さとする楕円(右図赤線) ......[]

5.定点Cを中心とする円周上の動点Bと円の外部の定点Aとを結ぶ線分の垂直二等分線と、直線CBとの交点Pの軌跡を求める。但し、直線ABが円の接線となる場合を除く。
[
解答]  直線ABが円の接線となる場合には、垂直二等分線が直線CBと平行になり、交点Pが存在しません。
線分
PBと線分PAは、垂直二等分線に関して対称なので、
円の半径をとして、より、
よって、P2定点CAまでの距離の差がrで一定である点なので、双曲線の定義より、Pの軌跡は、2定点CAを焦点とし、この円の半径を双曲線の2つの枝の頂点間の距離とする双曲線 ......[]

6.定点Aを中心とする一定の円周Cに外接し、かつ、円C外の定点Bを通る円(が存在すれば)の中心Pの軌跡を求める。
[
解答] 外接する円と円Cとの接点をQとする。例5と同様に直線BQが円Cの接線になる場合には、外接する円が存在しません。
外接する円が存在すれば、
APQは同一直線上の点。PQPBはともに外接する円の半径であって、
Cの半径をとして、より、
よって、P2定点ABまでの距離の差がrで一定である点なので、双曲線の定義より、Pの軌跡は、2定点ABを焦点とし、円Cの半径を双曲線の2つの枝の頂点間の距離とする双曲線 ......[]



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