2次曲線に関する問題(その4)

楕円の問題を極座標を使って考えてみます。

以下の例を、
xy座標系で普通にやってみます。
1.楕円: ()の焦点を通る直線lと楕円との交点をABとし、もう一つの焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。但し、
[
解答] 楕円の方程式の分母を払って、
 ・・・@
焦点
を通る直線lは、x軸に垂直になるときを除いて、 ・・・A (楕円はx軸に関して対称なので、として十分です)
これを@に代入して、

整理すると、
 ・・・B
線分
ABの長さdは、Bの2解をとして、

但し、直線lx軸に垂直になるときには、楕円の方程式で、として、
このときは、 ・・・C
と考えます。
Bの
2解の差は、Bの判別式をDとして、
 (2次方程式の一般論を参照、2次方程式:の判別式をとして、2解の差は、)
ここで、
 
 
 
 

よって、
Cは、ここでとしたときの極限になっています。
さて、
Fと直線Aとの距離hは、
三角形FABの面積Sは、

 
根号内を ()とおいて、
この導関数は、
のときには、なので、は単調増加です。よって、
従って、Sの最大値は、としたとき、つまり、直線Aがx軸に垂直なとき、
......[
]
のときには、において、は極大となり、Sの最大値は、
......[
]

xy
座標系で考えても何とか解けますが、同じ問題を、極座標を使って考えてみます。

2極方程式 ()で与えられる楕円(Oに焦点があり、離心率はe,準線は始線に垂直で焦点との距離はh)とその焦点を通る直線との交点をABとし、極でない方の焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。
[
解答] ABは楕円上の点なので、楕円の方程式を満たします。Aの偏角(OAx軸のなす角)q (として考えれば十分です)とすると、Bの偏角はです。

楕円と始線との交点をC,始線の極側への延長線との交点をDとすると、


三角形FABの面積Sは、

 
 
 
  ・・・@
 
  (,つまり、のときには、相加平均、相乗平均の関係が使えます。不等式の証明を参照)
 
上記の不等号で、等号が成立するのは、,つまり、のときですが、のときには、これを満たすq が存在するので、Sの最大値は、 ......[]
のときは、@において、とおくと、

より、 ()
よって、は、において、単調増加です。

このときには、@より、Sの最大値は、 ......[]

2の中で、ついでに、楕円の長軸の長さを求めると、

これより、楕円: ()において、
として、

焦点のx座標を ()として、
より、

準線と楕円の中心との距離は、
()
また、
2Oは、極(楕円の焦点)でしたが、改めて、xy座標系の原点をO (楕円の中心)にとると、楕円: ()は、右図のようになっています。


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