2次曲線に関する問題(その5)

離心率e (),焦点と準線の距離がh,焦点を極とする双曲線の極方程式は、です。
とすると、 ()となりますが、このとき、曲線上の点Cは、極(焦点)から、始線と反対側に距離のところに来ます。
とすると、となりますが、このとき、曲線上の点Dは、極から、始線と反対側に距離のところに来ます。
なので、左から、CDOの順に一直線上に並びます。
CDの中点M(双曲線の中心)は、DからC側に、距離のところにあります。
Mと焦点との距離をとすると、より、

M
と準線との距離は、()

以上では、Oを双曲線の焦点としていましたが、改めてOxy座標系の原点(双曲線の中心)にとると、双曲線:は、右図のようになっています。

2次曲線に関する問題(その4)で、楕円の問題を極座標で考える例を示しました。
ここでは、さらに、一般の
2次曲線に関する問題について、極座標で考える例を取り上げます。

1.極Oを焦点とする、極方程式: (離心率:,焦点Oと準線との距離:)で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をABとするとき、を証明する。
[証明] Aの偏角をq とすると、Bの偏角はで与えられます。

よって、 (証明終)


2.極Oを焦点とする、極方程式: で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をAB,この直線と焦点Oで直交する直線との交点をCDとするとき、を証明する。
[証明] 



よって、 (証明終)


極方程式:によって、楕円()と双曲線()と放物線()を、焦点を極とする極座標でまとめて扱うことができますが、標準形で表された楕円と双曲線については、中心(xy座標系の原点O)を極とする極方程式も考えられます。
楕円: ()
では、
を代入すると、


 
 
分母、分子をで割り、 (cは焦点の座標) (eは離心率、2次曲線に関する問題(その4)を参照)を用いると、
 
双曲線: では、
を代入すると、


 
 
分母、分子をで割り、 (cは焦点の座標) (eは離心率、このページの上記を参照)を用いると、
 
中心を極とする極座標における極方程式は、
楕円では、
双曲線では、
となります。

3.中心をOとする、楕円: ()または、双曲線: ()上に2ABをとり、とすると、となることを証明する。
[証明] 楕円の場合、中心を極とする楕円の極方程式:を用いると、より、


 
となる双曲線の場合、同様にして、より、

  (証明終)
注.となる双曲線の場合、となるような2ABを双曲線上に取ることができません。

4.中心をOとする、楕円: ()上に3ABCをとり、とすると、となることを証明する。
[証明] 中心を極とする楕円の極方程式:を用いると、より、


 
 

 
 

  (証明終)
注.楕円上にn個の点を、 ()のようにとるとき、が言えます。


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