2次方程式の一般論

2次方程式 ()を考えます。
平方完成すると、
のグラフは、を軸とし、を頂点とする放物線になります(2次関数参照)
頂点の
x座標,y座標をとおきます。です。

のグラフの頂点と、2次方程式:の判別式:との間には、という関係があります。
i)
のとき
ならグラフは下に凸でを大きくして行くと、の値は正の値としてどんどん大きくなっていきます。
 
なので、のグラフはx軸と必ず2交点を持ちます。x軸との交点のx座標は2次方程式:の解です。
 
のグラフは軸に関して対称なので、x軸との交点も軸に対して対称な位置に2個あります。
 従って、
の解は、にある正の値をプラス・マイナスしたものになり、となります(解の公式)
ならグラフは上に凸でを大きくして行くと、の値は負の値として絶対値がどんどん大きくなっていきます。
 
なので、のグラフはx軸と必ず2交点を持ちます。のときと同様に、この2交点は軸に関して対称で、
 
の解は、にある正の値をプラス・マイナスしたものになり、 ・・・@ となります。
ii) のとき
となり、のグラフはx軸と接するようになります。従って、の解は1(重解)しかありません。
曲線と直線、あるいは、
2曲線の交わり具合を考えるとき、両者の方程式を連立して2次方程式が得られるのであれば、2次方程式の判別式が0になることと、2曲線が接することとは同じ意味を持ちます(「同値」と言います)
iii) のとき
ならのグラフは下に凸でより、グラフ上の全ての点はx軸よりも上にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
ならのグラフは上に凸でより、グラフ上の全ての点はx軸よりも下にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
従って、
aの正負にかかわらず、は実数解を持ちません。
2次関数が定符号であることと、2次方程式の判別式が負になることとは同じ意味(同値)を持ちます。

右図のように、においてx軸と2交点ABを持つとき、と因数分解されます。
@より、
だとして、2交点間の距離(2次方程式2解の差)は、
のグラフの頂点をCとして、三角形ABCの高さ、即ち、Cx軸との距離は、
これより、三角形ABCの面積は、です。
特に、
の場合には、,三角形ABCの面積はとなります。


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