2次方程式の一般論    関連問題

2次方程式 ()を考えます。
平方完成すると、
のグラフは、を軸とし、を頂点とする放物線になります
(2次関数参照)
頂点の
x座標,y座標をとおきます。です。

のグラフの頂点と、
2次方程式:の判別式:との間には、という関係があります。
i) のとき
ならグラフは下に凸でを大きくして行くと、の値は正の値としてどんどん大きくなっていきます。
 なので、のグラフは
x軸と必ず2交点を持ちます。x軸との交点のx座標は2次方程式:の解です。
 のグラフは軸に関して対称なので、
x軸との交点も軸に対して対称な位置に2個あります。
 従って、の解は、に、ある正の値をプラス・マイナスしたものになり、
 ・・・@ となります(解の公式)
ならグラフは上に凸でを大きくして行くと、の値は負の値として絶対値がどんどん大きくなっていきます。
 なので、のグラフは
x軸と必ず2交点を持ちます。のときと同様に、この2交点は軸に関して対称で、
 の解は、に、ある正の値をプラス・マイナスしたものになり、
・・・@ となります。
ii) のとき
となり、のグラフは
x軸と接するようになります。従って、の解は1(重解)しかありません。
曲線と直線、あるいは、
2曲線の交わり具合を考えるとき、両者の方程式を連立して2次方程式が得られるのであれば、2次方程式の判別式が0になることと、2曲線が接することとは同じ意味を持ちます(「同値」と言います)
iii) のとき
ならのグラフは下に凸でより、グラフ上の全ての点は
x軸よりも上にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
ならのグラフは上に凸でより、グラフ上の全ての点は
x軸よりも下にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
従って、
aの正負にかかわらず、は実数解を持ちません。
2次関数が定符号であることと、2次方程式の判別式が負になることとは同じ意味(同値)を持ちます。

右図のように、において
x軸と2交点ABを持つとき、と因数分解されます。
@より、だとして、
2交点間の距離(2次方程式2解の差)は、
のグラフの頂点を
Cとして、三角形ABCの高さ、即ち、Cx軸との距離は、
これより、三角形
ABCの面積は、です。
特に、の場合には、,三角形
ABCの面積はとなります。


TOPに戻る   苦学楽学塾   考察のぺージ

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
inserted by FC2 system