2次関数の最大・最小

(1) 範囲が指定されていない場合
の最大・最小は、に場合分けして考えます。
平方完成すると、
・・・@
グラフの凹凸により、
i) の場合と、ii) の場合と、2通りに分けて調べます。

i)
の場合、のグラフは下に凸です。
を限りなく大きくすれば、も限りなく大きくなるので、最大値はありません。
@において、 (
等号はカッコ内が0,つまり、のとき)なので、の最小値:
グラフ上で言えば、軸のところで最小になり、最小値は頂点のy座標です(2次関数参照)

ii)
の場合、のグラフは上に凸です。
を限りなく大きくすると、は限りなく小さくなるので、最小値はありません。
@において、 (
等号はカッコ内が0,つまり、のとき)なので、の最大値:
グラフ上で言えば、軸のところで最大になり、最大値は頂点のy座標です(2次関数参照)

(2) 範囲が指定されている場合
グラフで確認しながら、最大・最小を考えていくのが確実な方法です。
グラフが上に凸か、下に凸か、ということは、最大か最小かということが逆になるだけなので、ここでは、下に凸な場合に限って取り上げます。
上に凸な場合も、基本的な考え方は同じです。
指定された範囲と、放物線の軸の位置との関係によって、次の
4つの場合に分類できます。
i) 軸が指定範囲の右側 ii) 軸が指定範囲内の左に寄っている iii) 軸が指定範囲内の右に寄っている iv) 軸が指定範囲の左側
例えば、
2次関数 (軸が,頂点のy座標は1)で考えてみます。

i)
軸が指定範囲の右側の場合
という範囲の場合、は単調に減少(xが大きくなるとが減る)します。
右図のように、
において最大値:
において最小値:

ii)
軸が指定範囲内の右に寄っている場合
という範囲の場合、端点における関数値を比べると、の方が軸に近く、放物線は対称で軸から離れるに従って関数値は大きくなる一方なので、となります。従って、
において最大値:
において最小値:
(
軸がちょうど範囲の中央にある場合、というようなときには、両端での関数値が等しくなり、最大値はとなります)

iii)
軸が指定範囲内の左に寄っている場合
という範囲の場合、端点における関数値を比べると、の方が軸に近く、(ii)と同様に、となります。従って、において最大値:
において最小値:
ii)
の場合も、iii)の場合も、軸から遠い方の端で最大になります。

iv)
軸が指定範囲の左側の場合
という範囲の場合、は単調に増加(xが大きくなるとが増える)します。
右図のように、
において最大値:
において最小値:

(3)
範囲や2次関数を表す式が文字を含む場合
(2)4つの場合分けの仕方に基づいて、軸と範囲がどういう位置関係にあるかで場合分けします。

例.
における最大値と最小値を求めます。

 
のグラフは、を軸とする下に凸な放物線です。

軸と範囲の位置関係によって4つに場合分けします(右図参照)
i) 軸が指定範囲の右側にある場合:となるので、のときです。
ii) 軸が指定範囲内の右に寄っている場合:軸が範囲の中央値以上で範囲の右端よりも小さいと言うことです。つまり、となるので、のときです。
iii) 軸が指定範囲内の左に寄っている場合:軸が範囲の中央値未満で範囲の左端以上だと言うことです。つまり、となるので、のときです。
iv) 軸が指定範囲の左側にある場合:となるので、のときです。

これより、以下のようになります。
i) のとき、において最大値:
において最小値:
ii)
のとき、軸から遠い方の端:において最大値:
軸の位置:において最小値:
iii)
のとき、軸から遠い方の端:において最大値:
軸の位置:において最小値:
iv)
のとき、において最大値:
において最小値:


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