2次関数

標準形:

2次式で表される関数2次関数です。

座標平面上で2次関数のグラフは放物線になります。
2次関数: ・・・@ のグラフをについて描いたものを右図に示します。
右図の
のグラフは、いずれもy軸に関して対称になります。なぜなら、に対するyの値はともにで等しいからです。
この対称軸のことを放物線の
と言います。
軸と放物線との交点を放物線の
頂点と言います。
右図の
のグラフの頂点は、いずれも原点Oです。

これによると、
のときは、のとき(軸の左側)には関数値は減少、のとき(軸の右側)には関数値は増加します。
このとき、グラフが下に向かってふくらんでいるので、
下に凸と言います。

のときは、のとき(軸の左側)には関数値は増加、のとき(軸の右側)には関数値は減少します。
このとき、グラフは上に向かってふくらんでいるので、
上に凸と言います。

@のxに置き換えた2次関数: ・・・A のグラフを考えてみます。
とおくと、Aはとなりますが、このグラフはy軸を軸とし、原点を頂点とする放物線になります。
なので、のグラフ上の点は、Aではx座標がpだけ加えられた点に来ます。
これは、右図のように
pだけx軸方向に平行移動した点にくることを意味しています。
のグラフ上の点全てについてこれが言えるので、Aのグラフは、y軸を軸とし、原点を頂点とする放物線をx軸方向にpだけ平行移動したグラフになります。
Aのグラフでは、軸は
yx軸方向にpだけ平行移動した直線となり、頂点は原点Ox軸方向にpだけ平行移動した点となります。
つまり、Aのグラフは、直線
を軸とし、を頂点とする放物線になります。

2次関数: ・・・B のグラフを考えてみます。
Aのグラフと比べると、y座標がどのxの値に対してもqずつ増えているので、右図のように、Bのグラフは、Aのグラフをy軸方向にqだけ平行移動したグラフになります。
軸は直線
のままですが、頂点は、Aのグラフの頂点からy軸方向にqだけ平行移動した点に移ります。
つまり、Bのグラフは、直線
を軸とし、を頂点とする放物線になります。

一般的な場合で、
2次関数: ・・・C のグラフを考察してみます。標準形を平方完成すると、

  ・・・D
となります。
これは、Bにおいて、
としたものです。
つまり、Cのグラフは、直線を軸とし、を頂点とする放物線になります。
頂点の
y座標は、Cでとしてできる2次方程式:の判別式:を用いて、と表されることに注意してください。
Cのグラフは、@のグラフを
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動したグラフだと言うこともできます。
従って、@の頂点も原点
Oからx軸方向にy軸方向にだけ平行移動されることになります。

例.
2次関数:のグラフ
右辺を平方完成すると、
このグラフはy軸を軸、原点を頂点とする下に凸な放物線を、x軸方向に2y軸方向に1だけ平行移動して得られる放物線です。
グラフは右図。


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