定積分の漸化式

  と表されるような数列の漸化式を考えます。
積分を数列として捉えることにより、見通しがよくなることがあります。

1.  ()
の漸化式を作るために、部分積分法で積分します。

 
 
 
 
 
()


より、としていくと、
nが偶数のとき、
分子に奇数が並び、分母に偶数が並びます。

のようになります。
nが奇数のとき、
分子に偶数が並び、分母に奇数が並びます。

のようになります。
また、
より、

が成り立ちます。
という形に積分は入試ではよく見る形なので、上記のの結果は暗記しておくと便利です。

2.  ()

 
 
1項の積分は、とおく(置換積分を参照)ことにより、 ∴
x
のとき、u

2項の積分はと表せます。
()

3.  ()
を微分、を積分に回して、部分積分します。

 


4.  ()
とみなして、1を積分、を微分に回して、部分積分します。

 
 


5.  ()
を微分、を積分に回して、部分積分します。

 
 

この漸化式をくり返し使うことにより、

  (分数の積が出てきますが、各分数で分子と分母の和がになることに注意)
 
ところで、

この分子はです。分母は、で割ったものになります。従って、
 (組み合わせを参照)

6.  ()
と見て、を微分、を積分に回して、部分積分します。

 
 
 
 
 


1.は、これのの場合に相当します。
同様に、
と見て、を微分、を積分に回して、部分積分すると、

が得られます。
mnがともに偶数の場合に、これを繰り返して用いると、 (1.参照)より、

 
 
例えば、


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