実数

整数を整数で割るとき、商が整数にならないことがあります。そこで、整数を拡張して有理数という数を考えます。
分母・分子が整数の分数の形に書ける数を
有理数と言います。
整数も分母が1の有理数と見なせば、有理数に含まれます。
有理数同志の和、差、積も有理数です。有理数を
0以外の有理数で割ったものも有理数です。

分母が
1でない自然数qで、分子が分母と互いに素な整数pであるとき、有理数を既約分数と言います。
円周率
は有理数としては表せないことが知られています。
数直線上に目盛りをふることのできる数を実数と言います。
有理数ではない実数を
無理数と言います。

1は無理数です。(平方根参照)
なぜなら、仮にが有理数だとして、既約分数の形に置けたとします。つまり、pを整数,qを自然数だとして、
分母を払って2乗すると、
これは、,従って、p2の倍数だということを意味します。
p2の倍数のとき、4の倍数です。とおくと、

よって、q2の倍数ですが、pqが互いに素ではなくなり、が既約分数であることに反します。
即ち、
は既約分数の形に表すことができず、有理数ではありません。は無理数です。

実数同志の和、差、積も実数です。実数を
0以外の実数で割ったものも実数です。


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