漸化式の技巧

この項目は、2項間漸化式3項間漸化式を参照してください。
(1) タイプ:両辺の逆数を考え、とおく。
(2) ()タイプ:両辺の対数を考え、とおく。
(3) ()xで置き換えた2次方程式の解をab として、とおく。の場合はとおく。
(4) タイプ:より、
(5) 予測して数学的帰納法で証明するタイプ

例1 
解答 (1) のタイプです。漸化式両辺の逆数を考えると、
とおくと、
 ・・・@
これは2項間漸化式の基本形です。aとおくと、
 ・・・A

@−Aより、
は、初項,公比等比数列


......[]

例2 
解答 (2) のタイプです。漸化式両辺の対数を考えると、底を3として、
とおくと、
 ・・・@
これは2項間漸化式の基本形です。aとおくと、
 ・・・A

@−Aより、
は、初項,公比2等比数列


......[]

例3 
解答 (3)となるタイプです。xで置き換えると、
分母を払って整理すると、

この解を用いて、 (分母、分子は入れ替わってもOKです)とおくと、
は、初項,公比等比数列(必ず、等比数列になります)

分母を払って、
......[]

例4 
解答 (3)となるタイプです。xで置き換えると、
分母を払って整理すると、

重解になってしまうときには、例3のようにはできません。出てきた重解を用いて、代わりに、とおきます。
は、初項,公差等差数列(必ず、等差数列になります)

分母を払って、
......[] (6も参照してください)

例5 
解答 (4)のタイプです。
の分母、分子に、をかけます(何をかけるのか、何を割るのかは、式の形でいろいろです)

これは、が定数値をとる数列であることを意味しています。初項より、
......[]

例6 
解答 例4については、こぜわしい技巧を使うよりも、予測して数学的帰納法で証明してしまう方が簡単です。
,・・・ より、
と予測できます。
(T) のとき、より予測は成り立ちます。
(U) のとき、予測が成り立つとすると、
与漸化式より、
よって、のときも予測は成立します。
(T)(U)より、予測は、すべての自然数nについて成り立ち、
......[]


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