置換積分

この項目では、不定積分の公式を参照してください。
また、
但し、とおいた。xのとき、t()
また、
のとき、だとして、においては連続,だとする。

証明  だとすると、
合成関数の微分法の公式より、
xで微分すると、

xで微分すると、になる、ということは、xで積分するとになるということです。
つまり、 ()

また、 (証明終)

積分の計算は微分の計算と違って、必ずできるという保証がないのです。例えば、のとき、
という形の積分は、指数関数や三角関数では表せないことが知られています。

ですが、そのままの形では積分の計算ができなくても、文字の置き換えを行うことにより、積分の計算が行える場合があります。
という形をしていて、計算のできない積分があった場合に、とおくと、
そこで、積分の中ので置き換えて、xに関する積分をtに関する積分に直してしまうことができます。
定積分の場合には、積分範囲の
xに関する範囲なので、tに間する積分に直す場合には、として、xのとき、tなので、
この形に直すと積分が計算できる場合があります。ただし、置換積分は、いつもうまくいくとは限らないことに注意してください。

という形の積分は、とおくと、うまくいくことがあります。

例1 
とおくと、 ∴
x:のとき、t


の場合には、とおいて、xについて解いてから、を求めます。

例2 
とおくと、 ∴
xのとき、t

の場合には、とおくと、 ∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

の場合には、とおくと、 ∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

例3 
とおくと、
qのとき、t

の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

例4 
とおくと、
xのとき、t

さらに、とおくと、
tのとき、u

の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

例5 
 ( )


1項の積分は、とおくと、 ∴
q のとき、tより、
2項の積分は、
3項の積分は、
以上より、

注意 上記の置換積分で、という形をしている積分では、文字の置き換えが面倒なので、として、
 (C:積分定数)
というような書き方をすることがあります。を固まりとして文字のように思って積分の計算をします。
以下のように、定積分のときには、
として、積分範囲を入れかえる必要がないので便利です。
これを、高校の教科書風に計算を書くのであれば、とおいて、xのとき、tより、
となります。


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