置換積分(その2)

この項目は、不定積分の公式置換積分を参照してください。

の場合では、とおくと、うまくいくことがあります。

1
とおくと、
x
のとき、q

 

2
根号内を平方完成します。

とおくと、
x
のとき、q?

 
 
 
 
 
[
別解] 置換積分の定石通りやれば上記の通りなのですが、入試会場では時間の制約もあるので、以下のような方針で答案を作成してください。
の両辺を2乗して整理すると、となるので、被積分関数はを中心とする円のx軸から上側の部分であって、積分は、この円のの部分とx軸の間に挟まれた領域(右図緑色の部分)の面積に相当します。
右図で、半径
2,中心角の扇形の面積と、底辺1,高さの直角三角形の面積を加えることにより、


として、を考えます。
とおくと、xのとき、q より、

となりますが、なので、
であれば、xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、
として、は正弦関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正弦が
tになるときの角がです。
,つまり、

です。
では、なので、のとき、逆関数の微分法により、

となることに注意してください。

の場合は、とおくと、うまくいくことがあります。

3

とおくと、
x
のとき、q より、

 

として、 を考えます。
とおくと、
x
のとき、q より、

となりますが、なので、
であれば、xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、
として、は正接関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正接が
tになるときの角がです。
,つまり、

です。
のとき、逆関数の微分法により、

となることに注意してください。


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