連立漸化式

複数の数列の隣接する項の間に成立する関係式を連立漸化式と言います。
基本形:
・・・@, ・・・A,

連立漸化式には、いろいろな解法がありますが、基本的には等比数列の形を作ります。
という形の数列を考え、これが等比数列になるように、kの値を決めます。

@+A×
kより、
右辺をでくくると、

このとき、であれば、は公比:等比数列になります。
分母を払って整理すると、
・・・B
この
2次方程式が異なる2実数解ab をもてば、
数列
等比数列になります。
は、初項:,公比:等比数列
よって、
・・・C
は、初項:,公比:等比数列
よって、
・・・D
b−D×aより、

D−Cより、

[
注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。

係数
pqrsの間に何のつながりもないときには上記のようにやりますが、実際の入試問題を見ていると、このタイプの連立漸化式では、ほとんど、の形(2つの式で、の係数が入れ替わっている)をしています。
このとき、
2次方程式Bは、となり、です。数列等比数列になります。
の形をしている場合は、一々2次方程式Bを作らずに、「@+A,@−Aを作れば等比数列の形になる」と覚えておいて、いきなり等比数列の一般項C,Dを作りに行く方がよいでしょう。


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