2次方程式の解と係数の関係の応用 関連問題
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2次方程式：
の2解(虚数解であってもよい)をα，β として、
2次方程式の解と係数の関係：
，
2次方程式：
の2解をα，β として、
，
です。
などとして、解と係数の関係を利用することにより、α，β に関する対称式の値を簡便に計算していくことができます。
の2解は、
ですが、
などと計算すると大変なことになります。
共役複素数の性質：“実数の共役複素数はもとの実数”(実数aについて、
)という性質を使うと、
実数係数の2次方程式：
(a，b，cは実数)
があったときに、この2次方程式の解の1つをαとして、
より、
よって、
も2次方程式：
の解です。
つまり、実数係数の2次方程式について、1つの虚数が解であれば、その共役複素数も解になります。
を解に持つ実数係数の方程式を作れ、という問題があります。
実数係数の方程式であれば、
の共役複素数
もまた解になります。
2解の和：
2解の積：
より、
，つまり、
が求める2次方程式ということになります。
(
などでもよい)
2次方程式：
の判別式：
であるとき、2実数解をα，β だとして、
1) 
かつ
⇔ 
かつ
2) 
かつ
⇔ 
かつ
3) α，β が異符号 ⇔ 
が成り立ちます。これを利用して解く問題があります。
例．2次方程式：
の2実数解が、
(1) ともに正数 (2) ともに負数 (3) 異符号
となるように、定数aの範囲を定めよ。
[解答] 2次方程式が2実数解を持つために、
判別式：
∴ 
または 
･･･①
以下、この条件下で考えます。
(1) 2解がともに正数 ⇔ 2解の和：
かつ 2解の積：
⇔ 
かつ 
①と合わせて、
......[答]
(2) 2解がともに負数 ⇔ 2解の和：
かつ 2解の積：
⇔ 
かつ 
①と合わせて、
......[答]
(3) 2解が異符号 ⇔ 2解の積：
①と合わせて、
......[答]
注．このタイプの問題については、2次方程式の解の配置を参照。
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