解と係数の関係の応用

2次方程式:2(虚数解であってもよい)ab として、
2次方程式の解と係数の関係

2次方程式:2解をab として、です。


などとして、解と係数の関係を利用することにより、ab に関する対称式の値を簡便に計算していくことができます。
2解は、ですが、


などと計算すると大変なことになります。

共役複素数の性質:実数の共役複素数はもとの実数”(実数aについて、)という性質を使うと、
実数係数の
2次方程式: (abcは実数)
があったときに、この2次方程式の解の1つをaとして、
より、

 
よって、2次方程式:の解です。
つまり、実数係数の
2次方程式について、1つの虚数が解であれば、その共役複素数も解になります。

を解に持つ実数係数の方程式を作れ、という問題があります。
実数係数の方程式であれば、
の共役複素数もまた解になります。
2解の和:
2
解の積:
より、,つまり、が求める2次方程式ということになります。
(などでもよい)

2
次方程式:の判別式:であるとき、2実数解をab だとして、
1) かつ かつ
2)
かつ かつ
3)
ab が異符号
が成り立ちます。これを利用して解く問題があります。

例.
2次方程式:2実数解が、
(1) ともに正数 (2) ともに負数 (3) 異符号
となるように、定数
aの範囲を定めよ。
[解答] 2次方程式が2実数解を持つために、
判別式:
 
または ・・・@
以下、この条件下で考えます。
(1) 2解がともに正数 2解の和: かつ 2解の積:
かつ
@と合わせて、 ......[]

(2) 2
解がともに負数 2解の和: かつ 2解の積:
かつ
@と合わせて、 ......[]

(3) 2
解が異符号 2解の積:
@と合わせて、 ......[]
注.このタイプの問題については、2次方程式の解の配置を参照。


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