3次方程式の解と係数の関係

3次方程式:3解がabgだとすると、


[証明]  ・・・@ 3解がabgのとき、
・・・A
@,A各項の係数を比較して、
(証明終)

3
次関数の解と係数の関係に出てくる、は、3文字の場合の基本対称式になっています。

3次関数のグラフ: ・・・B を考えます。
導関数は、
における接線の方程式は、 ・・・C
このとき、接線Cと、もとの曲線Bとの交点を求める問題があります。
この問題で、素直に、BとCを連立して解いても、重解
をもつことがわかっているので、もう一つの解を求めることはそれほど大変ではありません。
ですが、交点の
x座標をbとすれば、BとCを連立してできる3次方程式の3解は、aabなので、解と係数の関係を使って、
 ∴
と即座に求まるので便利です。

そのほか、
3次方程式の3解の間に条件が指定されている問題があります。こうした問題では、解と係数の関係を使います。

[] 3次方程式:3実数解をabgとして、bが他の2解の相加平均になっている場合、
と解と係数の関係から、より、となります。
として、とすると、となりますが、は、変曲点のx座標になっています。これは、3次関数のグラフが変曲点に関して対称であることを考えれば納得がいくでしょう。


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