空間ベクトル

平面ベクトルにおいて、有向線分としてベクトルを定義したが、空間においても同様に、有向線分として空間ベクトルを定義する。
従って、平面ベクトルにおいて成り立つことは空間ベクトルにおいても、成分表示において、
z成分が付け加わるだけで、そのまま成り立つ。

以下については、
ベクトルとはを参照してください。
(1) 空間内に2ABがあるとき、大きさが線分ABの長さであって、向きがAからBに向かう量を、ベクトルとする。
(2) 空間内に3ABCがあるとき、
(3)
に対して、の逆ベクトルと言い、
(4)
(5)
実数kについて、は、
のとき、と同じ向きで長さがk倍となるベクトル
のとき、と正反対の向きで、長さが倍となるベクトル
のとき、零ベクトル
(6)
ベクトルの和、差、実数倍は、文字の計算と同様に行う。

以下については、
ベクトルの1次独立を参照してください。
(7) 空間内の2つのベクトルが平行 ⇔ となる実数kがある。
(8) 1次独立については、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、
平面上の
2つのベクトル1次独立
 ⇔  (k
:実数) かつ  かつ 
 ⇔ ならば
 ⇔ で三角形を作るような位置関係にある。
これが、空間ベクトルでは、
空間内の
3つのベクトル1次独立
 ⇔ 
が同一平面上に存在しない。
 ⇔ 
ならば
 ⇔ で四面体を作るような位置関係にある。
平面を
2次元,空間を3次元と言うのは、平面ベクトルでは1次独立なベクトルの組が2個のベクトル、空間ベクトルでは1次独立なベクトルの組が3個のベクトルから成ることからきている。
(9) 1次結合の形も、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、
1次独立な2つのベクトルがあるとき、平面内の任意のベクトルは、stを実数として、と表せる。また、実数stの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、
1次独立な3つのベクトルがあるとき、空間内の任意のベクトルは、stuを実数として、と表せる。また、実数stuの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、
の形を1次結合と言う。
(10) 空間ベクトルでも、原点を始点とするベクトルを、点Pの位置ベクトルと言う。

以下については、
ベクトルの成分表示を参照してください。
(11) 空間ベクトルでも、大きさが1のベクトルを基本ベクトルと言う。
(12) の位置ベクトルをとすると、これらのベクトルは基本ベクトルであるとともに、1次独立である。空間内の任意の点Pの位置ベクトルを、と表すことができる。xyzは点Px座標,y座標,z座標で、と表すことにする。これをの成分表示と言い、xyzx成分,y成分,z成分と言う。
(13) 2つのベクトルに対して、khを実数として、

以下については、内積を参照してください。
(14) 2つのベクトルに対して、の内積は、のなす角をq として、

 
証明は、平面ベクトルにおける内積と同様に、三角形の余弦定理を用いればよい。
(15)


以下については、ベクトルの内分・外分を参照してください。
(16) 内分点、外分点の公式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしています。
空間内の
2ABに対して、線分ABmnに内分する点Pの位置ベクトルは、

線分ABmnに外分する点のPの位置ベクトルは、

とくに、2ABの中点は、
また、Cとして、三角形ABCの重心は、


以下については、直線のベクトル方程式を参照してください。
(17) 直線のベクトル方程式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしている。
空間内の点
Aを通り、方向ベクトル:に平行な直線上の点Pの位置ベクトルは、点Aの位置ベクトルをtを実数として、
成分表示で書くと、
これより、  (これを直線の媒介変数表示と言う)
媒介変数tを消去すると、 ()
これが空間図形における直線の方程式になる。


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