階段関数と不等式

1,・・・,,・・・ と続く数列を調和数列と言います。調和数列の第n項までの和:
   
を、一般的にnの式で表すことはできません。
ですが、
が大体どれくらいの数なのかを調べる方法があります。
右図において、黄色で塗られた部分の面積の和は、となり、調和数列の第n項までの和になります。
この面積は、曲線:
と直線,直線x軸とで囲まれ部分の面積に1 (右図での部分に存在する四角形−本当は正方形ですが−の面積)を加えたものAよりも小さく、曲線:y軸,x軸,直線とで囲まれる部分の面積Bよりも大きいことは、図を見ればわかります。従って、

という不等式をすぐに作ることができます。大学入試の答案としては、右図を書いて上記のように説明すれば充分ですが、ここでは、もう少し丁寧に書いてみます。
として、を満たすxについて、が成立します。このとき、
各辺に積分記号をつけても不等号の向きは変わらない(定積分と不等式を参照)ので、

ここで、です。について和をとると、
 ・・・@
においては、より、
これより、@の左辺と中辺には、1を加え、右辺にはを加えても不等式は成立します。
注.なぜ、こんな面倒なことをするかと言うと、
が計算できないからです。のとき、となってしまいます。




これより、であることがわかります。

以上と同様にして、
についても調べることができます。
のとき、より、

について和をとると、

この不等式の中辺は、なので、とできます。よって、

 (不定積分の公式を参照)

 



 




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