座標平面における対称

点に関して対称な図形
Aと点Bが、点Pに関して対称であるとき、
Pに関して、方程式:で表される図形と対称な図形は、

右図のように、点Aと点Bが、点Pに関して対称であるとき、点Pは線分AB中点です。
・・・@

また、点
Aが方程式:で表される図形上の点であるとき、が成り立ちます。このとき、点Pに関して点Aと対称な点Bが満たす方程式を考えてみます。
@より、
が成り立つので、これを、に代入すると、 ・・・A
Aが、点
Bの満たす方程式です。点Aが、図形:上の点だとすれば、点Bは、点Pに関して図形:と対称な図形上の点です。
ということは、Aの
として、点Pに関して、方程式:で表される図形と対称な図形の方程式は、

1.点に関して直線:と対称な直線を求めよ。
[解答] 求める直線上の点をとして直線: ・・・@ 上の点は、

これを、@のxyに代入すると、
整理して、
と書き換えて、求める直線の式は、 ......[]
注.点に関して対称な放物線、その他の曲線を求める場合も全く同様にできます。


直線に関して対称な図形
Aと点Bが直線lに関して対称
1) かつ 2) 線分ABの中点Ml

Aと点Bが、直線: ()に関して対称
1) かつ 2)

Aと点Bが、直線:に関して対称
1) かつ 2)

(なお、2直線の平行・垂直を参照)
Aと点Bを結ぶ直線の傾きは、であれば、
直線の方程式は、のときも含めて、
この直線の法線ベクトルは、
であれば()
のときも含めて、
線分ABの中点が直線l上という条件は、直線の方程式に、を代入した式を立てます。

2.直線:に関して、直線:と対称な直線を求めよ。
[解答]  直線: ・・・@ 上の点を,求める直線上の点をとします。
が直線:に関して対称
1) かつ 2)
1)
より、
・・・A
2)より、
・・・B
A,Bを
xyについて解くと、
@に代入して、
整理すると、
として、求める直線の方程式は、 ......[]
注.直線に関して対称な放物線、その他の曲線を求める場合も全く同様にできます。


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