円の接線

原点Oを中心とする半径rの円:上の点Pにおける円の接線の方程式:

半径と円の接線は垂直なので、点Pにおける接線は、半径OPが乗っている直線と点Pにおいて直交する直線です。
直線
OP ・・・@ として、
原点
Oを通るので、@でとして、
Pを通るので、 ・・・A
より、k0でない実数として、すれば、Aが成り立ちます。
よって、@は、
と書けますが、kで割って、直線OP
直線OPの法線ベクトルはで、これと垂直なベクトルは (内積を計算してみてください)
よって、直線OPと垂直な直線は、 ・・・B と書けます(2直線の平行と垂直を参照)
この直線は点
Pを通るので、 ・・・C
一方、点
Pは円上の点なので、は円の方程式を満たします。
・・・D
C,Dより、
Bに代入して、点Pにおける接線の方程式:
(
円の方程式を参照)

数学V履修者のために、微分を使って公式を導いておきます。
円の方程式:
の両辺をxについて陰関数の微分法により微分します。


(
即ち、)であれば、点Pにおける接線の傾きは、
Pにおける接線:
Dを用いて整理すれば、 が得られます。
のときの円の接線は、 (複号同順)ですが、に含まれます。

円:の接点における接線を求めてみます。
この円と接点を、円の中心が原点に来るように平行移動させると、
円は、
,接点は、に来ます。
接点
における接線は、です。
この接線を再び、
x方向にay方向にbだけ平行移動すると、として、
円:
の接点における接線は、


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