四面体の体積

 大学入試で頻出の四面体の体積を考えます。
1.座標空間内の3点、ABCを頂点とする三角形を含む平面と原点Oとの距離を求める。
[解答1] 四面体OABCを三角形OABを底面とし、OCを高さとする四面体とみると、三角形OABの面積は、
四面体OABCの体積Vは、
一方、
三角形ABCの面積Sは、

 
求める距離をhとして、より、
......[
]
[
解答2] 3ABCを通る平面のx切片が1y切片が2z切片が3であることから、この平面の方程式は、

6
をかけて、
これと原点との距離hは、点と平面の距離の公式を用いて、
......[
]
注.解答1で、外積を用いて、とすることもできます。
解答
2で、平面の方程式とおいて、
を通ることから、
を通ることから、
を通ることから、

よって、平面の方程式は、
をかけて、
とすることもできます。

2.座標空間内の4OABCを頂点とする四面体の体積を求める。(秋田大 '99)
[
解答] 

 
 
三角形ABCの面積Sは、
 (外積を参照)
O
から三角形ABCに下ろした垂線の足をHとすると、は三角形ABCに垂直なベクトルなので、 // より、とおける。
また、
より、


四面体OABCの底面を三角形ABCと見ると、その高さは、

 
よって、四面体OABCの体積は、
......[
]
注.上記をよく見ると、四面体の体積を求める上で、Skhの値を求める必要がないことがわかります。
は底面の三角形ABCに垂直なベクトルでその大きさは三角形ABCの面積S2倍なので、とのなす角をq として、

 
は、四面体の高さなので、になっています。


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