東工大数学'02年前期[4]
nを自然数とする。
(1) 次の極限を求めよ。
(2) 関数
の極値を与えるxの最小値を
とする。このとき および
を示せ。 (3) (2)の
に対して、極限 を求めよ。
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解答 (1)の②式は階段型関数の技巧を用いて、右図で、
緑線から内側の面積≦赤線から内側の面積≦青線から内側の面積
を考えれば、すぐに得られます。
(2)は、n次方程式については、高次方程式、背理法については証明の技巧を参照してください。
(1) 
において、
より、 ∴ 
各辺を
について加え合わせて、 ①より、左辺に
を加え、中辺と右辺に1を加えても不等式は成り立ちます。
∴ 
･･･② (定積分と面積を参照) より、
各辺を
で割って、 
のとき、∴ 
......[答]
(2) 
は
次関数です。
次方程式：
は、
を解にもちます。 また、
はn次関数で、
のグラフを考えると、
は、
，
，･･･，
の各範囲に極値を1個ずつもつので、n次方程式：
は、
，
，･･･，
の各範囲に解を1個ずつ、全部でn個もちます。これ以外には、
の解はありません。
ということは、関数
の極値を与えるxの最小値
は、
の
における解であって、
･･･⑦
が成り立ちます。
のとき、 ∴ 
･･･⑧
ここで、
と仮定すると、⑧の左辺について、
ですが、⑧の右辺について、
，
であり、
，･･･，
ですから、⑧の右辺が、 となり、等式⑧が成立し得なくなります。ということは、
とした仮定は誤りです。⑦と合わせて、
∴ 
･･･⑨
(3) ⑨より、
よって、
従って、辺々加えあわせると、
右辺については、
∴ 
各辺を
で割ると、 ここで
とすると、(1)より、
東工大は、はさみうちの原理をうまく使うことで極限を求める問題が多いのですが、ちょっと見ると手のつきにくい極限の問題を、より簡単な極限に置き換えて考えてゆく、というのがテーマになっています。難問を難問のまま向き合わないで、より解きやすい形に直して考えようという発想が問われます。本問も雄大な構想を立てるようになっていますが、適宜ヒントに乗ってうまく解ければ、爽快な感じがする問題です。
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･･･①
のとき、
において、
より、
は、
であるような解
をもっていて、
，
より、
，
，･･･，
，
，･･･，
......[