東京工業大学2003年前期数学入試問題

[1](1) 3次関数 ()のグラフをCとする。原点を通る直線で、Cとちょうど2点を共有するものを2本求めよ。
(2) (1)で求めた直線のうち、傾きの大きい方を,小さい方をとする。Cが囲む部分の面積をCが囲む部分の面積をとおく。この二つの面積の比を求めよ。
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[2] 2辺の長さの比が1a ()の長方形がある。この長方形から1本の線分にそって切ることにより正方形を取り去る。残った図形が正方形でなければ、再び同じ要領で正方形を取り去り、残りが正方形でない限りこの操作を続ける。例えば、の場合はどちらも2回でこの操作は終わる。
(1) 3回の操作で終わるようなaの値をすべて求めよ。
(2) n回の操作で終わるようなaの値の最大値と最小値を求めよ。
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[3] において、辺ABの中点をM,辺ACの中点をNとする。辺ABx ()の比に内分する点Pと、辺ACy ()の比に内分する点Qをとり、線分BQと線分CPの交点をRとする。このとき、Rに含まれるようなの全体をxy平面に図示し、その面積を求めよ。(ただし、辺AB,辺AC01の比に内分する点とは、ともに点Aのこととする。)
[
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[4] 関数 ()を次の漸化式により定める。
, 
ただし、の第k次導関数を表す。
(1) 次多項式であることを示し、の係数を求めよ。
(2) を求めよ。
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