東工大数学'03年前期[1]

(1) 3次関数 ()のグラフをCとする。原点を通る直線で、Cとちょうど2点を共有するものを2本求めよ。
(2) (1)で求めた直線のうち、傾きの大きい方を,小さい方をとする。Cが囲む部分の面積をCが囲む部分の面積をとおく。この二つの面積の比を求めよ。

解答 (1) ・・・@
原点を通る直線を ・・・A とします。
@,Aを連立すると、

または ・・・B

@,Aともに原点を通過します。また、@,Aとも1つのxの値に対して1つのyの値が対応する関数(つまり、同一のx座標のところに複数の交点ができることはない)です。よって、(2次方程式の一般論を参照)
Aが、C2点を共有する
(i) 「Bが00以外の1解をもつ」 または (ii) 「Bが以外の重解をもつ」

(i) Bが00以外の1解をもつとき、
Bにを代入すると、

このとき、Bは、

は、なので条件を満たします。

(ii) Bが以外の重解を有するとき、
まず、判別式:

このとき、Bは、
()
は、条件を満たします。

よって、求める2本の直線は、 ......[]

(2) (1)で求めた2本の直線の傾きについて、より、

です。

曲線Cは、のときのときとなっていることに注意してください。

は、Cと交わり、 ()で接するので、において、Cの上側にあります(3次関数の増減を参照)
よって、Cで囲む部分の面積
 (定積分の公式を参照)

は、Cと接し、 ()で交わるので、において、Cの下側にあります。
よって、Cで囲む部分の面積:

以上より、116 ......[]


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