東工大数学'03年前期[4]

関数 ()を次の漸化式により定める。
, 
ただし、の第k次導関数を表す。
(1) 次多項式であることを示し、の係数を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 関数列と微分が出てきますが、数学的帰納法の問題です。(2)のことも頭に入れて、帰納法の証明を考えるとよいでしょう。

の雰囲気をつかむために、を求めてみます。
漸化式において、とすると、
より、
与漸化式において、とすると、
より、
与漸化式において、とすると、
より、
これで、この問題の大体の見当はついてしまいます。

(1) 上記の検討で、次式になりそうなことは充分予測できます。
最高次の項の係数ですが、の係数:でも見当がつきますが、不安なら、の最高次の項も考えてみましょう。の係数は、の項を2回微分してをかけたものになります。2回微分すると、係数にが乗じられるので、の係数は、となり、の係数は、と予測できます。
(1)として、この予測を証明すればよいのですが、(2)のことも考えておきます。先の心配をする余裕がないかも知れませんが、この問題では、(2)を考えてから(1)に戻って考え直しても、充分、試験時間内に入ると思います。
(2)では、微分係数を聞いているのですが、1次、2次、3次、4次の微分係数を求めよと言っているので、1次、2次、3次、4次の項の係数が問題になりそうです。
上記の検討ですぐ気がつくことですが、には、定数項と1次の項がないことが予測できます。これも、合わせて、証明しておくことにします。また、の係数をとおきます(となることもわかりきっていますが)

命題: ()は、次式であって、の係数はであり、とおける。
この命題を数学的帰納法により証明します。
(T) のとき、より、次式であって、の係数はであり、とすれば、命題は成立します。
(U) のとき命題が成立するとして、とおけたとします。

与漸化式において、として、

は、次式であって、の係数は、であり、とすれば、
とおけるので、のときにも命題は成立します。
(T)(U)より、命題が証明されました。
の係数は ......[]

(2) (1)の証明より、より、に対して、です。
より、数列は、初項0,公差2等差数列です。
よって、
より、として、
(のときも成り立ちます。階差数列を参照)
以上より、




......[]

問題文中に漸化式が与えられていて、その漸化式を用いて数学的帰納法の証明を構成する証明問題で、一生懸命、漸化式を証明しようとする人が多いのですが、漸化式は成り立つとされている「事実」です。成り立つとされている「事実」の証明を試みても何の意味もありません。何を証明すべきなのか、何が明らかにされていないのか、ということをよく考えるようにしてください。


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