東京工業大学2005年前期数学入試問題

[1] eを自然対数の底とし、数列を次式で定義する。
()
(1) のとき、次の漸化式を示せ。
(2) に対しなることを示せ。
(3) のとき、以下の不等式が成立することを示せ。
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[2] 1から6までの目がの確率で出るサイコロを振り、1回目に出る目をa2回目に出る目をb とする。2次式とおきとする。
(1) sおよびtの期待値を求めよ。
(2) abcおよびdの期待値を求めよ。
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[3] Dを半径1の円盤、Cxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトルと直交する。
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[4] 実数xyを満たしながら変化するとする。
(1) とするとき、点の動く範囲をst平面上に図示せよ。
(2) 負でない定数をとるとき、の最大値、最小値をmを用いて表せ。
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