東工大数学'06年前期[1]
以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対し
を求めよ。 (2) 次の不等式を示せ。
(
)(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数を
で表す。
が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。
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解答 (1)，(2)は教科書の例題レベルの問題ですが、(3)はガウス記号
まで登場するので複雑そうに見えます。実は、(3)も、③式を利用して積分区間を分けてしまえば、(1)，(2)が利用できる形になります。結局、
，n：奇数のとき、
というだけのことなのですが、この奇数nを
と書いて、
などとすると、難問に見えてしまうのが不思議です。なお、三角関数、絶対値を含む積分を参照してください。
......[答]
(2) 関数
のグラフは、
において上に凸(関数の凹凸を参照)なので、原点
と
を結ぶ直線：
から上側にあります。 従って、
において、
とおくと、
，
において、
∴ 
･･･①
また、
より、 両辺からsを引いて、
･･･②①，②より、
(3) 与不等式中の積分について、
とおくと、
，t：
のとき、x：
とおくと、
(
) ･･･③
③を用いて、定積分Iの積分区間を分けると、
･･･④④式のカッコ内の第1項の積分は、(1)において、
と考えると、 
が奇数であるとき、
(
)となるxについて、
とおくと、
であって、
より、
④式のカッコ内の第2項の積分は、(2)より、
よって④より、
･･･⑤
左辺は、③より、
⑤式各辺から1を引いて、 
･･･⑥⑥式の右辺は、③を用いて、
∴ 
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