東工大数学'06年前期[4]
空間内の四面体ABCDを考える。辺AB，BC，CD，DAの中点を、それぞれK，L，M，Nとする。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このとき
，
，
を示せ。 (3) 辺ACの中点をPとし、
，
，
とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。
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解答 最近、東大、京大などで出題されている等面四面体に関する問題で、直方体ABCD-EFGHの各面の対角線と頂点とでできる四面体のうち、ABDE，BCDG，EFGB，EGHDの4個を取り除くと、等面四面体ができる、という知識を使えばすぐにできるのですが、ここでは、前提知識を想定しないでやってみます。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
∴ 
(2) 各面が正三角形、二等辺三角形であることは想定されていないので、各面とも辺の長さが異なるものとして、三角形ABCにおいて、
，
，
(a，b，cは互いに異なる正数)とします。この場合でも、題意は成立しなければなりません。 
となるために、
なので、
，
･･･① となるか、または、
，
･･･② となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
となるために、
なので、
，
･･･③ となるか、または、
，
･･･④ となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
より、①かつ③はあり得ません。
より、②かつ③はあり得ません。
より、②かつ④はあり得ません。
よって、“①かつ④”の場合に絞られますが、このとき、
，
，
となります。
このとき、
より、四面体ABCDのすべての面が互いに合同になります。
このとき、
，
，
(3) (2)の仮定のもとで、(1)より、
よって、
です。 同様に、
よって、
KL // NM，また、
･･･⑤
これより、四角形KLMNは、平行四辺形ですが、
より、平行四辺形の対角線が直交するので、四角形KLMNはひし形です。MKとLNの交点をOとすると、OはMK，LNの中点であり、また、
全く同様にして、BDの中点をQとすると、四角形PKQMはひし形で、MKの中点はOなので、PQの中点もOとなり、
，
(MKとLNとPQは1点Oで互いに垂直に交わります)⑤と同様にして、
，
三平方の定理より、 (⑥＋⑦＋⑧)÷2より、
･･･⑨⑨－⑧より、
⑨－⑦より、
⑨－⑥より、
四面体PKLNの底辺を三角形KLNと見ると、この面積は三角形OKLの面積2個分で、四面体の高さはOPよっても四面体PKLNの体積は、 
......[答]
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を示せ。ここに
はベクトル
の長さを表す。
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧