東工大数学'07年前期[1]

pを素数、n0以上の整数とする。
(1) mは整数でとする。1からまでの整数の中で、で割り切れで割り切れないものの個数を求めよ。
(2) 1からまでの2つの整数xyに対し、その積xyで割り切れるような組の個数を求めよ。

解答 とかの場合を少し調べてみれば、感じをつかめると思います。(2)(1)を利用するのだろうと、最初から思うことが早道です。
(1) 1からまでの整数の中で、で割り切れる整数は、
,・・・,,・・・,,・・・,
の、個あります。
1からまでの整数の中で、で割り切れる整数(すべてでも割り切れます)は、
,・・・,
の、個あります。
1からまでの整数の中で、で割り切れで割り切れないものの個数は、
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(2) xyをそれぞれ素因数分解したときに何個のpが含まれているか、ということを考えれば、(1)の利用に気づけるはずです。xを素因数分解したときにm個のpが入っている、ということは、xでは割り切れるが、では割り切れない、ということです。xを素因数分解したときのpの個数は、0個から個まであり得ますが、のときだけ、別に分けて調べる必要があります。
として、xで割り切れるがでは割り切れない数のとき、こうしたxの個数は、(1)より、個あります。
このとき、 ()であれば、xyで割り切れます。
yの個数は、個あり、の組の個数は、個あります。
のとき、yは、1からまでのどれでもよく、の組の個数は、個あります。
以上より、xyで割り切れるような組の個数は、
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