東工大数学
'07
年
前期
[2]
検討
[2]
(
解答は
こちら
)
放物線の接線と
x
軸とのなす角
θ
を
2
等分する直線、とか、接線と角
φ
をなす直線について考える問題を入試でよく見かけます。
すべて、正接に関する公式を使って処理できます
(
ベクトルの内積を考える人もいます
)
。
角
θ
を
2
等分するのであれば、
角
φ
をなすのであれば、
を利用することになります。たいてい計算のややこしい問題になります。
この問題もそうした計算問題の
1
つで、途中の計算は、なす角
ということもあって案の定ややこしくなります。ですが、面積は、
のとき、
4
という簡単な値に近づくのです。きれいな答に、なぜだろう!と感動します。出てきた結果に感動することが、数学を得意科目にする第一歩だと私は思います。
実は、この問題は一般的に考える方が、
が暴れず、計算が簡単にすみます。
放物線
の点
A
における接線の傾きは
です。
この接線を
A
を中心に
となる角
φ
だけ回転した直線を
として、
の傾きを
m
,
とおくと、
分母を払って
m
について解くと、
・・・@
の方程式は、
・・・A
で、ここに
を代入すれば、
(1)
の答が出ます。
Aと
を連立すると、
∴
よって、
は、
との比をとると、
これで、
が一定値でありさえすれば、
でなくても、
のとき、
となることがわかります。
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