東工大数学
'07
年
前期
[3]
検討
[3]
(
解答は
こちら
)
解答は自然な流れに沿ってやってありますが、こうした問題では、より簡潔にまとめるのにはどうするか、ということも一つのテーマになります。
東工大の場合には、問題数に比して時間はたっぷりあるので、解答方針のところに時間をかけることもできるのですが、かと言って、簡潔な答案を書くためだけのために、
1
題
30
分も考えるのであれば、私は、多少手間がかかっても、自然な流れで望む方が安全だと思います。この辺は、個人の趣味の問題でもあるので、こうすべきだ、というようなことは言えませんが
......
。正八角形の問題なので、対称性を考えて整理すれば、自然に考えても、いくつかの類型に分けることができて、充分に試験時間内に入りきると思います。
(1)
では、
P
，
Q
が隣接
2
辺にいて、
R
が他の辺の上にあるとき、
P
，
Q
が
1
つおいた辺の上にいて、
R
が他の辺の上にあるとき、を、考えれば十分です。
P
のいる辺を固定すれば、場合分けはそれほど複雑ではありません。
P
，
Q
の位置に対して、
R
がどこに来ると、三角形の面積が最大になるか、ほとんどの場合では容易に考えることができます。問題は、
P
が
上、
Q
が
上にあって、
R
が
上を動くときですが、
PQ
//
かどうかで場合分けすれば解決します。
(2)
では、場合分けなしで解答する方法もあるようですが、私にはオーソドックスな考え方だとは思えません。オーソドックスに行くのでは時間がかかって試験時間内に完了できない、というのならともかく、
(1)
のように場合分けして考えれば、多少回り道でも、三角形の面積＝底辺×高さ÷
2
で解決します。
(1)
だけでも充分ではないかと思いますが、根性さえあれば小中学生でも取り組める全員参加型の入試問題で良問だと思います。
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上、Qが
上にあって、Rが
上を動くときですが、PQ //
かどうかで場合分けすれば解決します。