東工大数学
'08
年
前期
[2]
検討
[2]
(
解答は
こちら
)
ぱっと見た目に難問のように見えますが、ガウスの記号で用いる考え方:
n
を整数,
x
を実数として、
のとき、
・・・
(
*
)
と同様に、この問題の
についても、
のとき、
として考えれば、道が開けそうな気がします。ですが、不等式を導いて、はさみうちしようとすると、
のときにはうまく行くのですが、
のときにはうまく行きません。
のときには考え方を変える必要が出てきます。ですが、
のときと
のときで極限が異なる、というのは、東工大の問題ではよくあることなので、
2
つの場合で頭を切り換えて、ていねいに調べていけば切り抜けられるでしょう。
もう一つ、この問題でいやらしいのは、「収束するような実数
c
の最大値」という聞き方です。
以上では収束せず、
なら収束する、というように、解答の書き方を工夫する必要があります。
ガウスの記号に関するおもしろい問題を
1
つ紹介しておきましょう。ゆっくりと考えてみてください。お茶の水女子大理学部
'94
年の問題です。
とする。ただし、
は
x
のガウス記号で
x
を超えない最大の整数である。このとき、次の問いに答えよ。
(1)
のグラフを描け。
(2)
数直線上で、動点
P
が
から出発して、
,
,・・・,
,・・・
という関係で移動を繰り返すとき、以下の問いに答えよ。
(a)
のとき、
,
,
の値を求めよ。
(b)
動点
P
の座標
,
,
,・・・に対し、
のとき、
が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。
(c)
動点
P
が、異なる
2
点間を往復運動している場合、その
2
点を求めよ。
(2)(b)
は、
(1)
のグラフや直線の式を使わずに、
の記号を使ったまま、上記の
(
*
)
を使って解答を書いてみてください。
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