東工大数学'09前期[1]

Pから放物線2本の接線が引けるとき、2つの接点をABとし、線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする。PAPBが直交するときのSの最小値を求めよ。

解答 頻出タイプの問題で落とせない問題です。

P2接点をAB ()とします。
より、

Aにおける放物線の接線は、
 ・・・@
Bにおける接線も同様に、
 ・・・A
@,Aは直交するので、
 ・・・B (2直線の平行・垂直を参照)
@,Aを連立して、

より、
これがPx座標で、
 ・・・C (これより、となります)
放物線は下に凸なので、接線は放物線から下側にきます。線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形をのところで分けて考えます。定積分は少々工夫して計算するとラクになるので、以下の計算要領を覚えてください。
 (定積分と面積を参照)
被積分関数を2乗の形にしたことに注意してください。こうできるのは、放物線と接線とで挟まれている部分の面積を計算しているからで、@と放物線の方程式、Aと放物線の方程式をそれぞれ連立するとが重解になるからです。定積分の積分範囲にabが出てくるので、積分計算がラクになります。

B,Cがあるので対称式の技巧を使いたいのですが、は対称式ではありません。ですが、なら対称式です。そこで、
と変形して、B,Cを使うと、
これは、のときに最小となり、Sの最小値は、 ......[]


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