東工大数学'09前期[2]

実数aに対し、次の1次変換
を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。
(1) Lは点を通る。
(2) QL上にあれば、そのfによる像L上にある。

解答 ‘97年の入試まで頻出であった不動直線の問題ですが、1次変換の行列表現を与えて不動直線を求めよ、というのではなく、不動直線をもつ条件を求めよ、という問題になっています。

(1)の条件より、直線Lを、 (kは実数の定数)またはと表すことができます。
(i) 直線Lの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L上の点になるので、
整理して、
t は任意の実数なので、
 (恒等式を参照)
とすると、なので、
よって、,つまり、となりますが、
とすると、なので、
とすると、
 (このとき、L)
(ii) 直線Lの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L上の点になるので、
t は任意の実数なので、
(i)(ii)より、 ......[]
追記.行列が表す1次変換で、直線: (),直線:上の点が、各々、もとの直線上に移る条件を考えてみましょう。
直線:上の点の座標は、
tを実数として、とおけます。
 (この場合はとします)
より、移った先の点が再び直線:上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、より、


bをかけて整理すると、
 ・・・@
これは、Aの固有値を求める方程式:
において、としたであって、Aが固有値1を持つことを意味しています。
直線:上の点の座標は、
tを実数として、をおけます。
より、移った先の点が再び直線:上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、
(i) の場合は@に含まれます。つまり、Aが固有値1を持ちます。
(ii) の場合は、の形であればよいことになります。
(i)は、本問では、
(ii)は、本問では、A成分として、


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