をもち、この固有値に対する固有ベクトルがだとします。つまり、

で与えられる直線上の点は、

より、直線上に移るので、直線はこの

次変換について不動直線になります。直線は原点を通る直線です。
今度は、行列

次変換が原点を通らない不動直線をもつとします。原点を通り方向ベクトルがの直線と直線との交点の位置ベクトルは、

でない実数として、と表せます。不動直線の方向ベクトルをとすると、のベクトル方程式は、

として、上の点は

に移りますが、これが直線上の点であるためには、

より、，また、となります。のときには、も固有値

。のときには、とは

次変換が原点を通らない不動直線をもつとき、行列

を持てば、不動直線の方向ベクトルは、

に次の問題があります。

---

行列によって定まる

自身にうつされるならば、原点を通らない直線であって、のどの点も

によっての点にうつされるようなものが存在することを証明せよ。

---

原点以外の不動点

が存在するとき、として、

　･･･�@

ですが、逆行列が存在するときには、左からをかけると、

が原点に限られてしまうので、は存在せず、

でなければなりません。これは、固有方程式：にを代入すると

　･･･�A

となります。のときには、とは

， ()

を任意の実数の定数として、とすると、ベクトル方程式：で与えられる直線

を考えると、より、

となり、上の点が上に移ることがわかります

前述のように、は不動直線です

。のとき、なので、位置ベクトルがとなる点は不動点です。
の場合

には、と

　･･･�B

とおくと、ハミルトン・ケーリーの定理よりなので、

，は

次独立なので、，�Bより、

これより、ベクトル方程式：で与えられる直線

となり、やはり上の点が上に移ります。但し、のときには、任意の

についてなので、不動点は存在しません。
東大の問題では不動点が存在しましたが、東工大の本問の条件

でが不動点であれば、行列が固有値

より、のときに、東大理系

が存在します。このとき、ですが、

に対する固有ベクトルは
固有値

これがを通るとき、より，不動直線は、

に対する固有ベクトルは
と

次独立なベクトル、例えばをもってくると、不動直線は、ベクトル方程式：

を消去してを通る不動直線は、になります。この場合には、行列

次変換により不動直線上の点は

より、に移るので、不動点は存在しません。を通る不動直線は存在します。
上記以外の場合では、不動直線が原点以外の点を通過する場合はありません。従って、以外にを通過する不動直線が存在すれば、その不動直線は、原点を通過することになります。と原点を通過する直線は

は固有ベクトルをもちます。

//

より、のときにも、条件をみたす直線

が存在します。
のとき、です

が、任意のベクトルについて、となるので、実は、固有ベクトルは任意のベクトルになっています。つまり、原点を通る任意の直線が不動直線になります。
参考までに、のときには、固有方程式：

()

より、固有値に対する固有ベクトルは、
このときには、原点を通る直線：，が不動直線

点は通りません

の場合が，

の場合がということになります。

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