東工大数学'09前期[3]

Nを正の整数とする。以下の正の整数mnからなる組で、方程式N以上の実数解をもつようなものは何組あるか。

解答 150分で4問解答なら、の範囲に実数解をもつときの格子点の数を数える、というくらいでないと、東工大の問題としては物足りない気がします。

 (2次方程式の一般論を参照)
とおくと、
 ・・・@
であれば、方程式:は、の範囲に実数解をもちます(の軸の位置はです)
のとき、ですが、このうち@をみたす組み合わせは、
のみです。のとき、
は、 ()を解に持ちます。
条件をみたすの組は、
1組あります。
のとき、ですが、
のときは、はすべて@をみたし、の範囲に実数解をもちます。
のときは、が@をみたします。
のとき、の解はなので条件をみたします。
のとき、は実数解
2をもつので条件をみたします。
のときは、が@をみたしますが、の実数解1Nより小さいので条件をみたしません。
のときは、@をみたすmはありません。
条件をみたすの組は、6組あります。
ここまでで、感じがつかめると思いますが、条件@のほかに、N以上の実数解をもつという条件を考える必要があります。この条件は、です。が満たされるとき、なので方程式となる実数解をもちます。よって、

 ・・・A
nm平面上で@かつAをみたす領域内の格子点の数を数えることになります。境界線
 ・・・B
 ・・・C
の関係を調べると、
より、BがCの上側にあり、境界線B,Cはで接しています。のときはよりとなり、接点のmの値はより大きく、B,Cの接点は、の範囲に入りません。
従って、のときには、@を考える必要はなく、Aかつかつ
(右図黄緑色着色部分の台形領域)をみたす整数mnの組を数えればよいことになります。
境界線Cは、を通り、の下を通ります。領域内の直線上には
N個の格子点(座標が整数の点)があり、「 かつ 」の長方形内には、個の格子点があります。合わせて、個の格子点があります。を代入すると、正しい結果を与えます。
条件をみたす整数の組は、
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